Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 101

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 135 >> Следующая

распространяющихся вдоль оси х)
dp (х)
м°)=0'
получаем формулу [110]
ре (х) = jj dl (х - I) jj dR I (I, R) V,e (?, R), (1.20)
0
более удобную в ряде случаев, чем первоначальная формула (1.18).
Отметим, что выражения (1.17) и (1.20) имеют смысл только для
ограниченных пучков, но не для плоской падающей волны (.щ (р) = и0 =
const).
Рассмотрим теперь описание амплитудно-фазовых флуктуаций волны и (х,
р) = А (х, р) ехр {iS (х, р)}.
254
Вводя комплексную фазу волны и/и0 = ехр {ф}, ф == % + iS, где 1 = In
А!Ай - уровень амплитуды волны, a S - флуктуации фазы волны относительно
фазы падающей волны кх, можно написать, исходя из (1.2), нелинейное
уравнение метода плавных возмущений (МПВ):
2ik-^~ + Д±ф + (^хф)2 + ^2s (я, р) = 0. (1-21)
Если 8 (х, р) достаточно мало, то для решения уравнения (1.21) можно
построить итерационный ряд по полю 8, т. е. представить комплексную фазу
волны ф (х, р) в виде
Ф (х, р) = ф° (х, р) + фх (х, р) + ф2 (х, р) + ...,
где ф° (х, р) = In и0 (х, р) - фаза волны в случае отсутствия
неоднородностей, а итерационные члены ф" (х, р) имеют вид
Ф" (х, Р) = ^ ' jj^i ¦ • ¦ dxn ^ dPi • • ¦ dP"8 Pi) • • • 8 (х"> Рп)
X
(х, р)
X
да (хи pi) ...
Ьг (хп,рп)
С помощью описанной выше процедуры (нахождение итерационных членов ряда
для и) легко получить явные выражения для любых ф" (х, р). Так, например,
фх (X, Р) = jj dx, 5 dPl |Е=0 8 (Xu Pl) =
о
=i ~т §dXi ^dpi p' p ~G p; Pi)u Pi) L=0e(Zi' P1) =
о
= i-^-^dxx jj dpi p) g (x, p; xu pi)
u0 (xu Pl) e (xu px);
0
при этом выражение для фх (х, р) соответствует так называемому первому
приближению МПВ (см. § 4 настоящей главы).
Для случая плоской падающей волны и0 (р) = и0 и, следовательно,
Щ (х, р) = и0 (ф° (х, р) = 0),
X
ф1 (х, Р) = i 4~ ^ dxi $ dpig (х' р; Хъ Pi) 8 Pi)' о
Аналогичным образом для плоской падающей волны получаем фг (х, Р) = -
^ йхгдхг ^ dpxdpae (хи рх) е (х2, р3) х
X {- g (х, р; хи рх) g (х, р; х.2, р.,) + 2g (х, р; хъ рх) g (хи рх;
х2, р2)}
и
т. д.

255
Вернемся теперь непосредственно к уравнению (1.21). Разделяя в (1.21)
действительную и мнимую части, получаем
2k-^r + ^S + 2V±yy±S = 0, (1.22)
дх
2* - - Дх* - <VX)3 + <V^)2 = (*- Р)- (4-

С помощью уравнения (1.22) можно получить уравнение для интенсивности
волны I = ехр {2%} в виде
k~ + V±(IVxS) = 0. (1.24)
Уравнение (1.22) можно переписать также в виде интеграла по
траектории. Введем вектор а = {/с, Тогда получим
aV'/-------|-Д^5,(а-, р). (1-25)
Вводя единичный вектор I = а/а, направленный вдоль луча, приходящего
в точку (х, р),
уравнение (1.25) можно переписать сле-
дующим образом:
4г^х' р) = - 4tA+S(x' Р)- (1-26)
Дифференциальное уравнение луча имеет вид
^- = 1 = -. (1.27)
dl а '
Взяв ж-компопенту уравнения (1.27), получаем dl = -jr dx. Аналогично для
поперечных компонент имеем dR/dl = Vj_iS/a, или
dB =J-V±S(x, Я). (1.28)
dx
Пусть R = R (х, p) - уравнение луча (? - текущая координата),
удовлетворяющего условию R (х, х\ р) = р. Интегрируя (1.26) и (1.28) с
условиями % (0, р) = 0 (для простоты рассматривается случай плоской
волны) и R (х, х; р) = р, получаем [111]
X
1 (а-. Р) =-----------S ^ A±S R ^х' Р^' (1.29а)
О
х
R(x, 1; р) =р- -!г Vx5,(r1, Л (ж, rj; р)). (1.296)
Уравнение (1.24) можно также записать в виде
div (Ia) = 0 (1.30)
Как следует из (1.30), энергия распространяется вдоль лучей, построенных
при помощи (1.296), так как плотность потока энергии сохраняется вдоль
лучевой трубки, определяемой [уравнением (1.296). В силу того, что луч,
приходящий в данную точку, единствен, имеет место соотношение
В (?t, I; В (х, р)) = i? (х, g; р),
(1.31)
смысл которого заключается в том, что в качестве граничного условия для
Предыдущая << 1 .. 95 96 97 98 99 100 < 101 > 102 103 104 105 106 107 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed