Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
всем и 1. Интегрируя по частям и используя равенство
А (и* - 1) ± Рп_х (и) = п (н - 1) />"_! (и),
получаем уравнение
¦^(Pn-1{u)') = Dn{n- 1) (u)>,
решение которого имеет вид
<Pn-i (")> = Рп-1 К) ехр {Dn (п - 1) х). (2.60)
Следовательно,
({iJLzfy=Рп-' ^ехр {Dn (2-61)
Если параметры пучка согласованы с параметрами волновода, т. е.
выполняется условие aka2 = 1, что соответствует собственной моде
невозмущенного волновода, то
<7П (х. 0)) = ехр {D п (п - 1) х}, (2.62)
что соответствует логарифмически-нормальному распределению вероятностей
для величины / (х, 0). В частности, из (2.62) следуют равенства
</ {х, 0)> = 1, </2 (х, 0)> = ехр {2Dx),
полученные впервые в работе [131]. Таким образом, моменты интенсивности
волны на оси волновода растут экспоненциально с увеличением расстояния в
отличие от случая однородных изотропных флуктуаций е, где средняя
интенсивность описывается формулой (2.43") и, вообще говоря, затухает с
ростом х.
§ 3. Метод последовательных приближений и условия применимости
диффузионного приближения
Остановимся теперь на условиях применимости приближения диффузионного
случайного процесса. Может быть построена теория последовательных
приближений, уточняющая функциональную зависимость статистических
характеристик волны от поля е [53]. Рассмотренное выше приближение
диффузионного случайного процесса является первым шагом в этой теории;
следующие приближения учитывают конечность продольного радиуса корреляции
поля и приводят к системе замкнутых иптегро-диффереи-циальиых уравнений
для моментов (см. § 6 гл. 3).
Указанный метод последовательных приближений строится следующим
образом. Вначале выписывается бесконечная зацепляющаяся система уравнений
для какого-либо- момента. При этом используется предположение о
гауссовском распределении для е и формула (2.3.6'), однако предположение
о дельта-коррели-роваипости не используется. В каждое из этих уравнений
входит корреляционная функция Вг (.г, р). Если использовать условие
дельта-коррелированности (2.4) в первом из этих уравнений, то мы приходим
к описанному выше диффузионному приближению, а остальные уравнения
системы оказываются ненужными. Если же в первых п - 1 уравнениях оставить
точное значение ВЕ (х, р), а в n-м уравнении использовать аппроксимацию
(2.4), то мы приходим к замкнутой системе из п уравнений для
интересующего нас момента. Частично описанная процедура демонстрировалась
на примере параметрического возбуждения системы за счет флуктуаций
параметров. Проиллюстрируем теперь этот метод на примере уравнения для
среднего поля.
270
Усредним уравнение (1.2) и для нахождения <ей> используем
(2.8). В результате получим выражение (2.9), подстановка которого в
уравнение для (и) дает
бк(.Г, р) \ _ Q
Се \х', р')7
ГС
[2ik II + ^ ~'г hi\dx' dpB?(x, р; х', р')<^-
О
(3.1)
Уравнение (3.1) не является замкнутым, так как содержит новую неизвестную
функцию <би/бе>. Чтобы получить уравнение для нее, подействуем па (1.2)
оператором б/бе {х , р') при х ¦< х
и усредним. Для вычисления величины <(^е(х, р) ^сно-
ва воспользуемся формулой (2.8). В результате получим
\ дх 1 др2 J \ Ьг (х', р')/
X
+ А:2 5 dx" 5 dp"Bz (х, р; х", р") = 0. (3.2)
О
Уравнение (3.2) снова оказывается незамкнутым, так как содержит вторую
вариационную производную от поля и. К уравнению
(3.2) следует добавить граничное условие при х = х', которое получим,
усредняя формулу (1.6):
<-Щу)>= * х 6 (Р ""<"(*'' р,)>- (3'3)
Теперь мы можем написать уравнение для функции <62и/бебе> и т. д. Таким
образом, уравнения (3.1), (3.2) и т. д. образуют зацепляющуюся
бесконечную систему уравнений. Начальные условия к появляющимся новым
уравнениям можно получить вариационным дифференцированием (1.6) и
последующим усреднением. Например, при х" <С х получаем
/ 62ft (хг, р) \ . к " . /8и(х', р')\
4 68(V, р-)де(Р, р>)У =1 -15 (р "р}<6^ГЮ> • (3-4)
Отметим, что начальное условие к "-му уравнению содержит функцию,
входящую в (п - 1)-е уравнение. Замкнутое уравнение в приближении
диффузионного случайного процесса, как указывалось выше, получается при
замене в уравнении (3.1) функции ВЕ на #еМ' = б (х -х)А (р - р'), так как
в этом случае возникает величина <6и (х, р)/6е (х', р')> при совпадающих
значениях х - х', которая, согласно (3.3), выражается через <к>. Замену
Въ на 5еФФ можно произвести не в первом уравнении цепочки (3.1), а в
одном из последующих. Если это сделать, например, в уравнении (3.2), то
под знаком интеграла появляется величина
{х, р") 6е
, которая, согласно (3.4), выражается через