Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
= v) х
X ехр {--- qB-----^ d\D (-J- -sin gU , (2.43')
r [cosa.r* 4 J \ka cosax /J v '
о
а полагая в (2.43')-К =0, получаем изменение средней интенсивности вдоль
оси волновода:
<7 <*¦ °" = SS S d"T. (- 4 " ls "¦ ") х
ХвХр{-(2.43*)
о
При a ->- 0 формула (2.43) переходит, естественно, в формулу
(2.19).
Отметим, что если волновой пучок (2.37) согласован с неоднородной
средой, т. е. параметр а удовлетворяет равенству
haa2 = 1, (2.44)
то волновое поле щ (х, р) (2.38) принимает вид
и0(х, р) = м0ехр|--taa-J (2.45)
и, следовательно, амплитуда его не меняется в процессе распространения
волны.
Выше мы рассмотрели случай однородных изотропных флуктуаций поля ё (х,
р) в параболическом волноводе. Представляет определенный интерес и случай
флуктуаций параметров самого волновода. Пусть е (х, р) имеет вид [130]
е (х, р) = - а2р2 + z (х) р2, (2.46)
где параметр а детерминирован, а z (х) будем считать гауссовской
дельта-коррелированной случайной функцией (<z (х) z (х')} = = 2о2 16 (х -
х')). В этом случае уравнение (1.2) принимает вид
^ = ±-Asu + ^-[-a2 + z(x)]p2u, (2.47)
273
а в качестве начального условия рассмотрим распространение волнового
пучка (2.37). Отметим, что для согласованного с волноводом пучка (т. е.
для которого выполняется равенство (2.44)) данная задача рассматривалась
в работе [131].
Решение уравнения (2.47) с начальным условием (2.37) можно
представить в виде
и(х, р) = ехр|- ~А(х)92 + В{х^ , (2.48)
где функции А (х) и В (х) удовлетворяют уравнениям
=-----[А2 (х) - a2/i2a4] - ika2z (х), А (0) = 1,
Тв i <2-49)
X
Следовательно, В(х)=---------dt, А ($) и интенсивность волново-
о
го поля описывается выражением
Я
I (х, р) = ехр {- р2 [А (х) + А* (ж)] - ~ ^ d^[A (|) + А* (?)]} .
о
(2.50)
Мнимую часть функции А в (2.50) можно исключить, используя первое
уравнение (2.49), а именно:
- = i1п + А* (2-51)
В результате получаем следующее выражение ^ля интенсивности поля:
I (х, р) = -4-И(а;) + Л* ^ ехр ' (2'52)
или, полагая' р = 0, выражение для изменения интенсивности вдоль оси
невозмущенного волновода:
/ (X, 0) = -i- [А (X) + А* (х)\. (2.52')
Следовательно, статистические характеристики интенсивности волны
описываются статистическими характеристиками решения уравнения (2.49) для
функции А (х), которое аналогично уравнению для коэффициента отражения
волны в одномерной слоистонеоднородной среде, рассмотренному в седьмой
главе.
Представим функцию А (х) в виде
А (х) = кол2 . (2.53)
v ' 1 - (х) ехр {- hax}
274
Тогда для функции г|з (х) получаем уравнение
¦S-<2-54>
Положим теперь
У (х) = ]/ Ни ^ + \ ехр {г (ф - 2ах)} (и>1). (2.55)
Тогда функции и (х) и ф (х) удовлетворяют уравнениям ¦?- = - -к-2(*)-1
sin ^ -2ах>* = +
(2.56)
1 - , cos (ф - 2аа:)
У и2 - 1
ф (0) = о,
а выражение для / (ж, 0) принимает вид
I (х, 0) =--------- аЫг---------------- . (2.57)
и (х) -f- Y"2 \х) - 1 cos (ф - 2rix)
Далее, как обычно, будем считать, что интенсивность флуктуаций z (х)
достаточно мала и, следовательно, статистические характеристики и (х) и ф
(х) медленно меняются на масштабах ~1 /ос. Поэтому для нахождения
статистических характеристик интенсивности волны (2.57) следует усреднить
их по быстро осциллирующим функциям. При этом распределение вероятностей
для функции и (х) описывается уравнением (см. гл. 7)
дРх (ц) п д
дх ди
)-LPAu) (С = да). (2-58)
а величину ф (х) следует считать статистически независимой от и (х) и
равномерно распределенной в интервале [0, 2л] (Dx 1).
Вычислим моменты интенсивности волны (1пу. Усреднение будем проводить
в два этапа. Сначала усредним по углу, в результате получаем выражение
<(тжу)л = р"М- <2-59>
где Рп (и) - полином Лежандра п-то порядка. Теперь усредним
(2.59) по и. Для этого умножим (2.58) на Рп-1 (и) и проинтегрируем по
