Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
луча можно, наряду с условием _В=р при ^ = х, брать также условие R =
=-В (х, р) при I = (рис. 16).
Перейдем теперь к компонентам Фурье всех величин по поперечным
координатам:
Х(х, р)= j dpxp(x)exp{ipp}, S (х, р) = ^ dp Sp (х) ехр {ipp}.
Тогда уравнение (1.22) после интегрирования по продольной координате
можно переписать в виде
X X
хр ^ Sp ^ + "Г S S аА, (Ю (Е)> (i-32)
о о
где в2 = б (дг + q2 - р). Решение уравнения (1.32) мож-
но представить в следующей форме:
Рис. 16. Поперечное смещение луча В, приходяще-
го в точку наблюдения (.х, р).
ОО
Хр (х) = ^2 ^ ^ ^ d9 q2Sq ^ Dp' q
(1.33)
где функция Dptp' (х, х') удовлетворяет уравнению
X
Dp, р'(х, x')=D°Pt р- (х, х) + ^ ^ \dqidq2A ^,qJSqi(l)Dlt,yV(t,
х'),
0 *
(1.34)
Dp р. (х, х') - & (р - р) 0 (х - х), 0 fx'! =
1 п и ?>0, ipn
х<^0.
Сравнивая (1.33) с (1.29), получаем связь функции D с траекторией
луча:
Dp< с- (х, х') = 4л2 (0) (х - х ) б (o' -f- R (и. х , р)).
(1.35)
Если справедливо приближение геометрической оптики (к -> оо),
рассмотрение амплитудно-фазовых флуктуаций существенно упрощается. В этом
случае уравнение для величины
257
% (х, р) (1.22) не меняется, а уравнение (1.23) принимает вид
2k^r + <yxS)* = k*-e(x, р).
(1.36)
Таким образом, в приближении геометрической оптики уравнение для фазы
волны не зависит от амплитуды.
Как мы видели выше, траектории лучей, приходящих в точку наблюдения
(х, р) (1.29), определяются величиной Vj_S, уравнение для которой, в свою
очередь, в приближении геометрической оптики имеет вид
-H;Vj.S + -y(4±SVx)V±S = ±V±b(x, р). (1.37)
Решение уравнения (1.37) также можно записать в виде интеграла по тому
же лучу:
X
VXS (X, p) = ±-^d% Vj_e (?, It (x, g; p)). (1.38)
о
Подставляя (1.38) в (1.296), можно исключить фазу волны из рассмотрения
и прийти к уравнению для траектории
^й = 4_Ухе(х\ В(х')) (JR(x') = JS(x,x';p)) (1.39)
ах **
с граничными условиями
*<*>=р. <*¦">>
Таким образом, в приближении геометрической оптики как уровень
амплитуды, так и градиент фазы, определяющий угол прихода волны в точку
наблюдения при заданной реализации поля е (х, р), определяются
единственным "динамическим" уравнением (1.39) с граничными условиями
(1.40). Однако в этом приближении возможна не единственность решения
уравнения (1.39).
Отметим также, что если мы знаем решение уравнения (1.36) для фазы
волны, т. е. фазу как функционал поля е (х, р), то можно в явном виде
выписать и решение для % [112].
§ 2. Приближение диффузионного случайного процесса
Рассмотрим теперь статистическое описание волны. Как отмечалось выше,
поле и (х, р) функционально зависит лишь от предшествующих значений е (?,
р')- Однако может существовать статистическая связь между и (х, р) и
последующими значениями е, так как значения е (х\ р') при х < х
коррелированы со значениями е (|, р) при ? х. Ясно, что корреляция поля и
(х, р) с последующими значениями е (х , р ) заметна при х - х ^ 1\\, где
I и - продольный радиус корреляции е. В то же время характерный радиус
корреляции поля и(х, р) по продольному направлению
258
имеет величину порядка х (см., например, [30]). Поэтому в
рассматриваемой задаче существует малый параметр 1\\/х, который может
быть использован для построения приближенного решения.
В первом приближении можно положить /ц = 0. В этом случае значения
полей и (?г, рг) при <; х будут не только функционально, но и
статистически независимы от значений е (т^-, pj) при т]j > х, т. е.
<П и (1Ь р.) е (Т]р.)^> = (Д и (th Pi)^><jl е(т)^, Pj)^> (2.1)
i, 5 i j
[h 4P>x)-
Используя свойство (2.1), легко получить уравнения для статистических
моментов поля и (х, р). Покажем это на примере Для этого воспользуемся
уравнением (1.4). Усредняя его, учтем, что во втором слагаемом в правой
части величина е (г], р) в экспоненте берется всегда при значениях т] ?,
т- е- статистически независима от второго сомножителя Дх и (?, р).
Поэтому при усреднении (1.4) эти множители можно усреднять независимо:
Я
{и (х, р)> = и0 (р) <^ехр |i jj е (?, Р)} ^> +
0
X X
+ i\^\exp{'T р)}/ р)>* (2-2)
о г.
Полученное уравнение является замкнутым, так как не содержит других
неизвестных функций, кроме
Перейдем теперь от интегро-дифференциальпого уравнения
