Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Z (1-13)
] dp G (aj, рь- х , р) G* (.то, р.,; х , р') = д (р! - р2).
Следствием этих условий является
равенство
^dpиг(х, р)и*(х,р) = ^ри°(р)и°*(р), (1.14)
где щ(х, р) и и* (х, р) - решения
уравнения (1.2) с начальными
условиями иг (0, р) = и\ (р), и2(0, р) = и\ (р). В частном случае,
когда ul (р) = и\ (р) = и0 (р), формула (1.14) выражает закон сохранения
энергии:
dpi (х, р) = jj dpl0 (р) = const (I (х, р) = и (х, р) и* (х, р)).
(1.14')
Отметим, что если мы имеем произвольную функцию G (х, р' х , р'),
удовлетворяющую интегральному уравнению
G (х, р; х', р') = g (х, р; х', р') +
X
+ j dl j dp"g (x, p; I, p") [e (g, p") G p"; x\ p') + ip (|, p", x ,
p')],
x'
то можно исключить из уравнения (1.8) функцию g, аналогично тому как это
делалось в § 4 гл. 4, и переписать (1.7) в терминах функций G и гр в виде
[108]
G (х, р; х', р') = G (х, р; х', р') -
X
- J d?§dp"G(x, р; р"Ж?> р"; х', р').
х'
Функция Грина G*(x, р; х , р') описывает сферическую волну,
распространяющуюся в отрицательном направлении по оси х, источник которой
находится в точке (х , р'). С помощью этой функции можно решить задачу об
отражении от зеркала волны, распространяющейся в случайно-неоднородной
среде [109]. Аналогичная задача в случае одномерной среды рассматривалась
в седьмой главе.
Пусть отражающая граница является плоскостью (L, р). Тогда поле
падающей волны на отражающей плоскости, согласно
(1.7), имеет вид
u+(L, рх)= | dp0G(L, pi; 0, ро)Мр0).
Отражающая плоскость осуществляет интегральное преобразование падающей
волны
и_(Ь, Рг) = ^ dp1V(p2, pi)u+(L, рО,
252
и, наконец, иоле'отраженной волны в точке (х, р) определяется формулой
и_ (х, р) = j dp2G* (х, р; L, р2) и_ (L, р2)
=
= j dptdpidpoV (р,, pi) G (L, p..; x, p)G(L, Pl; 0, p0) MPo)- (1-
15)
Для абсолютно отражающей плоскости V (р2, Pi) = У0в (Рг - Pi) и формула
(1.15) упрощается:
U_ (х, р) = Fo j dpLdp2G (L, рх; X, р) G (L, р^ 0, р2) h0 (р2).
(1.15')
Отметим, что характеристики отражающей плоскости могут быть случайны,
т. е. функция V (р2, рх) в (1.15) может быть случайной функцией
пространственных координат.
Используя соотношения ортогональности (1.13), для интенсивности
отраженной волны получаем интегральный закон сохранения [109]:
j dpl_ (х, р) dpodpidp'^y (р2, pi) V* (р2, р') и+ (L, pi) и* (L,
р^),
который для абсолютно отражающей плоскости принимает особо простую
форму:
jdp/_ (х, р) = | V0 |2§dp/+ (L, р)= |F0|2 §dp/0(p).
Уравнение (1.2) с граничным условием (1.3) описывает распространение
волны в неоднородной среде в малоугловом приближении, при этом
выполняется закон сохранения энергии (1.14'). Его можно получить и
непосредственно, исходя из уравнения (1.2). В самом деле, для величины
Ф (х, .В, р) = и [х, И 4" р) и* -В - -у- pj из уравнения (1.2)
получаем уравнение
= у VpVВф + i у j^e (.г, R + у р) - е R - уР) ] Ф Р)-
(1.1В)
Интегрируя это уравнение по R и предполагая, что поле и убывает на
бесконечности достаточно быстро, получаем
4^ S -в' р)=
~ * ~Г ГdIt [е (х' 11 + "Г р) - е Iх' 11-----г р)] ГР (х' -В' р'*
253
откуда при р = 0 следует интеграл энергии
dR I (х, R) = 0, или ^dRI(x, R) - Р0 = const, (1.17)
где I (х, R) = и (х, R) и* (х, R) - интенсивность волны.
При распространении ограниченных пучков в неоднородной среде часто
интересуются не только флуктуациями интенсивности волны внутри пучка, но
и флуктуациями положения пучка в пространстве как целого. Такое смещение
пучка приближенно характеризуется флуктуациями положения "центра тяжести"
интенсивности волны [30]. При этом вектор положения центра тяжести
определяется естественным образом:
J dppl {х, р) If "
^Х^ = ТТ~Г,------r=p-\dPPI(x'P)- (1Л8)
dр I (х, р) -*о J
Величина, стоящая в знаменателе (1.18), согласно (1.17) не зависит от х и
является детерминированной. Умножая уравнение (1.16) на R, интегрируя по
R и полагая р = 0, получаем уравнение для рс (х)\
= в' р)!р=о- (1Л9)
Для вычисления величины, стоящей в правой части (1.19), подействуем на
уравнение (1.16) оператором ~ р> положим р = 0 и проинтегрируем no R. В
результате получим равенство
с помощью которого уравнение (1.19) можно переписать в виде
?гРо(х)= Щ-^В1(х, R)V^(x, R). (1.19')
Интегрируя (1.19') с граничными условиями (для симметричных пучков,
