Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
р; х', р') -f
X
+ i ± J й\ J dp"g (х, р; g, р") е (|, р") G (g, р"; я', р'),
(1.8)
я'
где
/ ' 'ч к ГгА: (р -- p't2'! / ^ -V
g(x, р;х,р) = ехр {-^^} (*>*)
представляет собой функцию Грина для уравнения (1.2) в отсутствие
неоднородностей. При х' х формула (1.8) переходит в формулу
rG(x, р; х, p')|*'-"*=g(?, р; х, р) !*-_,* = Ь (р - р),
являющуюся обобщением известной формулы теории диффузии на мнимый
коэффициент диффузии. Отметим, что функция Грина G (х, р; х, р')
описывает поле сферической волны, распространяющейся из точки (х', р').
Интегральное уравнение (1.8) можно записать в эквивалентной форме в
виде функционального уравнения в вариационных производных (см. § 4 гл.
4):
60 ае & pi)X G (х' Р; Ь ^ G & ы р')
(х'<?<х)
с "начальным" условием
G (х, р; х', р') | Е=о = g (х, р; х , р').
В ряде случаев, когда е достаточно мало, можно использовать теорию
возмущений по е и представить и (х, р) в виде итерационного ряда:
и (х, р) = и0(х, р) + щ(х, р) + и2(х, р) + ...,
где щ(х, р) = J dp g (х, р; 0, р') и0 (а') - решение соответствующей
задачи в случае отсутствия неоднородностей (т. е. при е = 0),
249
а ип(х, р) - п-й итерационный член п-й степени по полю е. С помощью
формул (1.7) и (1.9) легко выписать выражения для щ (х, р), и2 (х, р) и
т. д. В самом деле, раскладывая поле и (х, р) в функциональный ряд
Тейлора по е, получаем
Выражение для иг(х, р) описывает рассеяние падающей волны и0(х, р) на
неоднородностях е (х, р) в так называемом "борцовском приближении".
Итерационный ряд для и (х, р), разумеется, легко получить и
непосредственно, исходя из уравнений (1.2) или (1.8). Однако' описанный
прием оказывается эффективным для нахождения итерационных членов
различных функций от и (х, р), например для комплексной фазы волны <р (х,
р) = In и (х, р) (см. далее уравнение
(1.21)). Так, представляя функцию Грина в виде
где 1(5 (х, р; х , р ) - пабег комплексной фазы сферической волны,
распространяющейся из точки (х', р') в точку (х, р), для функции i(5 (х,
р; х', р') получаем разложение
1() (х, р; х, р) = i|5t (х, р; х\ р') + i|5a (х, р; х', р') + . . .
,
где
X
О
О
Для следующего приближения получаем и2(х, р) =
X Я'
= - ^ dx' ^ dx" ^ dp' dp"e (х, р') е (х", р") X
о о
X g (ж, р; х', р') g (х', р'; х", р") и0(х",
р") п т. д.
б In G (х, р; .г', р')
6е (?, р,) е=о
g(.T, р; I, p,)g(?, рх; х', р')
g(x, р; х\ р')
250
к2 1" (х - х')
jj dpie (?, pi) х
-ui (х (Е, х ) х'
(. к [р(Е- х') - pi (х - х') - р' (а: - ?)121
/л лл\
х ехР ~1Г }• <1Л1)
Функция Грина G (х, р; х', р ), помимо уравнения (1.8), удовлетворяет
также уравнению
G (х, р; х, р') = g (х, р; х, р') 4-
+ * -J dl jj dp"G(x, р; |, р") е (|, р") g (|, р", х\ р').
('1.8')
X'
В этом легко можно убедиться, сравнивая итерационные ряды по е для
уравнений (1.8) и (1.8').
Выполним комплексное сопряжение в (1.8') и переставим точки (х, р) и
(х', р') (имея в виду, что по-прежнему х х). Учитывая тождество
g*(x, р'; х, р) = g (х, р; х', р'), получаем уравнение
G* (х\ р'; х, р) = g (х, р; х\ р') +
+ d(>"g Р; ^ 8 G* (Х'' Р ' ^ Р'^'
X'
сравнение которого с уравнением (1.7) дает равенство
G (х, р; х, р') = G* (х', р'; х, р) (х > х'),
(1.12)
выражающее теорему взаимности для рассматриваемой задачи (приближение
параболического уравнения). Если же функция s (х, р) = s (р), то
очевидно, что имеется еще одно свойство симметрии для функции Грина:
G (х, р; х, р') = G (х, р'; х, р).
(1.12')
Уравнения (1.8), (1.8 ) можно записать, очевидно, также в виде
дифференциальных уравнений
д I к
G(x, р; х', р) = т-: A fi{x, р; х', р ) -f i -j- в (х, р) G (ж, р; х
, р ),
г)х - ~ , г / - 2к - , г / I ~ 2
^ G (х, р; х', р')=--?ь А/G (х, р; х, р') -
- 1-^-г(х, p')G(x, р; х', р') (1.8")
с начальным условием
G(x, р; х', р')|х"х' = 6(р -р').
251
При этом, как легко видеть, функция Грина удовлетворяет условиям
ортогональности
§dpG(z, р; х', р')G*(x, р; х", р") = д (р' - р"),
