Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, формулу (7.14) можно переписать в виде
г ЖГ[1 -г а2 (^') ехр {-2Ых'}. (7.17)
б Rl
6ё
Учитывая теперь, что само волновое поле (7.2) в терминах функций а {х) и
R (х) имеет вид
U (х) = а (х) [1 + R (х)] ехр {- Ых},
(7.2')
233
получаем искомую зависимость
L х ¦ U2 (х) = i ш) * [а (х) eriy-x 4- Ь (х) eiy-
x\2. (7.18)
6е (X) г I в I 2 I к I
Таким образом, системы уравнений (7.3), (7.11) и равенства (7.10),
(7.18) образуют замкнутую систему, статистические свойства которой можно
полностью описать, считая, как и ранее, ё(х) гауссовским дельта-
коррелированным процессом. Отметим, что такая переформулировка задачи
полностью эквивалентна исходной постановке. Однако здесь мы уже можем
перейти непосредственно к пределу L -оо, при котором | RL | имеет
стационарное распределение вероятностей, описываемое формулой (5.4').
Отметим замечательную, на наш взгляд, особенность равенства (7.18).
Исходная волновая задача, постановка которой была описана в первом
параграфе данной главы, является краевой задачей, для которой удается
ввести функцию R (х), не имеющую особого физического смысла и
удовлетворяющую уравнению первого порядка по х. С помощью этой функции
можно определить комплексную постоянную Rl, имеющую четкий физический
смысл - коэффициента отражения волны от слоя флуктуирующей среды.
Равенство же (7.18) показывает, что величина Rl определяет поле не только
в свободном пространстве, но и внутри слоя, т. е. в принципе достаточно
для данной задачи исследовать решение единственного уравнения (7.6).
Перейдем теперь к изучению статистических характеристик
интенсивности волны внутри слоя среды. Введем функции W^x) - = j а (х)
|2, W2{x) = | Ъ (х) |2, р (х) = | и (х) |2, q (х) = | v (х) |2,
удовлетворяющие уравнениям
= 2yWx - i 4- -ру- (a*b<*iKX - аЬ*е-*ух), Wx (0) = 1, dW-2, о,.1,1/'
,• х (r) (х)
dx
2yW г - i (а*Ъе*УХ - ab*e-*iy-x), W2 (0) = I
Rh I2,
* I E I
(7.19)
= 2yp - i -rirr- (u*ve2iyx - iw*e~2te), p (0) =
0,
ClX 1^1
= - 2yq - i ~ -y|-p (u*ve2ixx - uv?,e~'liy-x), q(0) = 1,
и функцию Ox(Wi, W2, p, q) =
= 6 (W, (x) - WJ S (W2 (x) - Wt) S (p (x)-p) S (q (x) - q), (7.20)
Функция Фж, как функция своих переменных, удовлетворяет стохастическому
уравнению Лиувилля:
-д^- = ЬуФх-\- i ^ |=-j ё (х) МФХ,
(7-21)
234
с начальным условием
Фо(^1, W2,p, q) = 6(W1-i)6(p)6(q-l)6(W2-\RL I2), где введены операторы
*(jr."'*- *r.W' + ?'-?")• (7,22)
# = (а*Ъе*ь* - аЬ*е~2Ых) +
+ (u*ve2iv-x - uv*e~2ixx).
Усредним теперь уравнение (7.21) по ансамблю реализаций е (х), считая,
как и ранее, ё (х) гауссовской дельта-коррелированной функцией, т. е.
<ё (х) ё (ж')) = 2з%б (ж - ж').
Тогда для функции <ФХ> = PJ.Wi, W2, р, q) - одноточечной совместной
плотности вероятностей функций W± (х), W2 (х), р (х), q (х) - получаем
уравнение
-^ = + ' а?*,К-гЦу " ^у>} • Р-23)
Для вариационных производных, фигурирующих в (7.23), согласно (7.3),
(7.10), (7.18) и (7.21) имеем равенства
"W- ' та I""'1" +М
бе (ж) 2 | ? | |
е |
= i тггп [и + w?2"*],
(7.24)
бе ;т) 2 | 8 |
4 '
^v - _ j х \ие-2Ых I у!
6В (х) - 1 2 | в | [Ue h
. У.
б е (х) 2 | е |
МФХ - шЛ/Ф*,
где
/V = -JL- [ua*U2 -- u*a?7*2] + [vb*U2 - у*Ш*2].
Отметим, что при х' -> х в формулах (7.10) вклад членов, связанных с
б7?ь/бё, удваивается, так как они определены при любых х', в то время как
величины ба (х)/8ё (х'), бb (х)/8г (х') /6HL/6g=0 ~ 0 (ж' - ж).
Подстановка (7.24) в (7.23) приводит, вообще говоря, к незамкнутому
уравнению для Рх. Однако, если, как и ранее, интересоваться только
медленными изменениями статистических характеристик всех величин,
необходимо усреднить это уравнение
235
по периоду быстрых осцилляций, что приводит уже к замкнутому уравнению:
дР. ~
-faT - (Li + ?2 + Llti) Рх, (7-25)
~ D ("гтгг + "гпт) Ыгг " '+ '¦дат" ')'
+ ^г)"+ w) ¦ с (А- + ш) т + w'
rn){W' - WMW" - w--p)+
+ D (i + if) (ш[ ,Г' + ШГ, W<) IP + 1 + (P~ Я) ("'.5 - W.P)1.
