Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
этого случая будет рассмотрено в последующих главах книги. Теория
инвариантного погружения, описанная выше для одномерной задачи, легко
обобщается и на трехмерный случай [162]. Это позволяет, в принципе,
установить условия, при которых можно пренебречь обратным рассеянием.
Однако, учитывая, что в настоящее время еще не имеется конкретных
результатов в данном направлении, мы не будем на этом останавливаться.
Глава 8
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В СЛУЧАЙНО-НЕОДНОРОДНЫХ СРЕДАХ (МЕТОД
СТОХАСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ)
При распространении волн в среде со случайными крупномасштабными (по
сравнению с длиной волны) неоднородностями из-за эффекта многократного
рассеяния вперед флуктуации волнового поля быстро нарастают с
расстоянием. Начиная с некоторого расстояния, становятся непригодными
расчеты по теории возмущений в той или иной ее форме (область сильных
флуктуаций). Этот эффект был обнаружен экспериментально Грачевой и Гурви-
чем [98] в опытах по распространению света в турбулентной атмосфере и в
дальнейшем исследовался более подробно во многих работах [99]. Сильные
флуктуации интенсивности могут возникать при распространении радиоволн
через ионосферу, солнечную корону или межзвездную среду [100], при
просвечивании атмосферы планет во время покрытия ими естественных или
искусственных источников излучения [101] и в ряде других случаев.
Общее состояние теории распространения волн в случайнонеоднородных
средах приведено в обзорных работах [33, 102- 107]. Ниже мы, следуя [102,
103], рассмотрим описание процесса распространения волн в случайно-
неоднородных средах в приближении диффузионного случайного процесса и
обсудим условия применимости такого подхода.
При этом целесообразно разбить рассматриваемый материал на три части.
В первой (настоящая глава) рассмотрение ведется на основе изучения
статистических свойств стохастического уравнения, описывающего процесс
распространения волны; во второй части (гл. 9) изучаются статистические
свойства решения этого стохастического уравнения, выписанного в явном
виде (в виде континуального интеграла), ив третьей части (гл. 10)
рассматривается приближение геометрической оптики.
§ 1. Исходные стохастические уравнения и некоторые их
следствия
Распространение монохроматической волны в среде с крупномасштабными
неоднородностями будем описывать скалярным волновым уравнением
Ai|) + к2 [1 + ё (r)]i|) = 0, (1-1)
247
здесь г|? связано с компонентой пол нового поля Е соотношением ? =
i|>exp( - mt), к2 = <е>, а ё(г)= Ь~)Ъ>
- флуктуирующая часть диэлектрической проницаемости или показателя
преломления (в дальнейшем тильду у е писать не будем).
Если пренебречь рассеянием на большие углы, то вместо (1.1) можно
использовать параболическое уравнение для функции и, связанной с
соотношением i]- = и ехр {ikx}:
2ik ^ -f Aj и 1,-'2е(х, р) и (х, р) = 0, (1.2)
(р={у, z], = ^ +
где ось х выбрана в направлении первоначального распространения волны.
При переходе от (1.1) к (1.2) отбрасывается слагаемое дги/дх2. Начальным
условием к уравнению (1.2) является условие
и (0, р) = щ (р). (1.3)
Б дальнейшем мы будем исходить из уравнения (1.2).
Отметим, что процесс распространения волны, описываемый уравнением
(1.2) с граничным условием (1.3), является обобщением на бесконечномерный
случай рассмотренной в шестой главе системы уравнений для
параметрического возбуждения колебательного системы с флуктуирующими
параметрами.
Уравнение (1.2) с граничным условием (1.3) можно записать в виде
следующего пптегро-дпфференцпальпого уравнения:
и (х, р) = и о (р) ехр у -I- ^ dc е (Е, p)J
О
л: д;
+ w Iс^ехр {l 4" $е р^}А±и ^' р)' ^-4*
о С
которое в ряде случаев оказывается более удобным.
Так как уравнение (1.2) является уравнением первого порядка по а: с
граничным условием (1.3) при х = 0, то для этого уравнения выполняется
условие причинности, введенное в гл. 3 (координата х играет роль
времени), т. е. имеет место соотношение
W77) = 0 при х'<0' ^
Для вариационной производной при х = хг получаем стандартным путем
-f 6(р-р>(*,р). (1.6)
248
В общем случае величина ^ при ' 0 ^ х -< х может быть
выражена через функцию Грина уравнения (1.2), связывающую и (х, р) и и
(х', р') при 0 < х < х:
и (х, р) = j dp'G (х, р; х, р') и (х\ р')
(1.7)
(и (х, р) = j dp'G (х, р; 0, р') щ (р')),
при помощи соотношения
Ьи(х, р) . к п , ,\ . , ,
ы (дЛ р= г - G [х, р; я , р ) и (х , р ).
Функция Грина G удовлетворяет при этом уравнению G (х, р; х , р) = g (х,
