Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кляцкин В.И. -> "Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах" -> 97

Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.

Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах — М.: Наука , 1980. — 337 c.
Скачать (прямая ссылка): stohasticheskieuravneniyaivolni1980.pdf
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 135 >> Следующая

^2i p) (7.68")
с начальным условием QxC^y, X2, p) = рЧР-^р). Если решение уравнения
(7.68") известно, то соответствующие моменты интенсивностей для встречных
волн можно получить, интегрируя его по р. В случае мнимых значений klt %2
величина Qi является характеристической функцией логарифмов
интенсивностей Wlf W2.
Рассмотрим теперь предельный случай, когда случайная среда занимает
полупространство х < 0. Этот случай соответствует предельному переходу L-
>оо, х-+оо при условии, что L - ж->-х - фиксированная величина. В
результате вместо (7.69) получаем стационарное уравнение
2 [2у - Z) (1 - р)] Рх (р) + ?> (1 - р)2

dP Id)

о ос '
dp
0, (7.69')
решение которого описывается формулой (7.32). Уравнение (7.68') переходит
в уравнение Эйнштейна - Фоккера
dPx(W, р)
дх
=-М^1Г+2<Нр-<и'' р>-
D
ж w - i - р>]р- - 0 [ж w - i - р>ТV''.

(7.70)
с начальными условиями
^о(^!, р) = 6 (^ - 1) Р"(р), P"(W2, р) = б (Wa - р) Рк(р). Для величин
<И/1>, <И/2> находим уравнения
-^(W) = 2y(W) + DKW) -<PW>1 (7.71)
с начальными условиями <И\(0)>
1, <ТУ2 (0)> - <р>.
244
Уравнения (7.71) играют роль уравнений переноса. Отметим, что их
внешний вид не соответствует линейной теории переноса. Исходя из (7.71),
можно найти поведение функций в окрестности точки х = 0:
(И^я)) = \ + х[2у + D - <р"], (7.72)
<Ж2(я)> = <р> + я [2у <р> + D "р> - <р2"].
С учетом соотношения <р2> = 2 ((3 + 1) <р> - 1, являющегося следствием
стационарного уравнения (7.69'), эти выражения совпадают с
соответствующими формулами (7.31).
Рассмотрим теперь асимптотическое поведение решения уравнения (7.70)
при (3 1. Учитывая, что в этом предельном случае
стационарное распределение вероятностей имеет вид ?V(p) = = 2р ехр {-
2|3р}, можно сделать в (7.70) замену переменных рР ->• р. При этом ясно,
что последний член в (7.70) будет иметь порядок |3-2, поэтому с точностью
до членов ~Р-1 имеем
9Р" (Wv W2) / д д \
-----= - (2v + D) (-±. "ч + и-,) ИУ,
Ро(^,1,И^а)=в(Иг1-1)2рехр{-2рРГа}. '
Уравнение (7.73) легко решается, в результате для средних значений
функций W получаем выражения
<^(:г)> = ехр {2Тх (1 + [З'1)}, <W2(x)> =
= (2р)-!ехр {2ух (1 + Р"1)},
что соответствует феноменологической линейной теории переноса. Отметим,
что в этом случае, как видно из уравнения (7.73), отсутствует связь между
интенсивностями встречных волн.
Интегральное уравнение, соответствующее рассматриваемой задаче,
изучалось в работе [97] с помощью приближения Бурре и лестничного
приближения для уравнения Бете - Солпитера. В этой работе было получено
решение, согласующееся с линейной теорией переноса. Следовательно,
использованные в [97] приближенные методы расчета справедливы, по-
видимому, лишь при условии р 5§> 1.
р 3
В случае у = 0 Р.*, (р) ->6 (р - 1) и уравнение (7.70) переходит в
(7.36). При у Ф 0 решить уравнение (7.70) не удается. Однако для функции
Qx(Х2, р), описывающей моменты величин Wlf W2, можно получить уравнение,
аналогичное (7.68"):
-far- - - 2 рj Qx + D |\х - (1 - р) Qx
-
_д|\ + Ь2 +^(l-p)]^, (7.74)
где функция ^2> Р) = Ц dWrdW2W\' PX{WX, W2, p)
245
и Q0 (Aa, X2, p) = рЧР^р). Решение уравнения (7.74) можно представить с
помощью кулоновских сфероидальных функций. Кроме того, для уравнений
подобного вида существуют хорошо разработанные численные методы (см.,
например, [39]).
Отметим, что теория инвариантного погружения позволяет связать решение
задачи об источнике внутри случайно-неоднородной среды с решением задачи
о падении волны на слой среды. При этом, например, средняя интенсивность
волны в задаче с источником в среде, занимающей все пространство, простым
образом (через квадратуру) определяется корреляционной функцией
интенсивности волны в задаче о падении волны на полупространство.
Решение, соответствующее линейной теории переноса, в этом случае также
является асимптотическим пределом при
Р>1.
Выше мы подробно рассмотрели одномерную задачу о распространении волны
через слой флуктуирующей среды. Однако в реальных условиях (трехмерная
среда), прежде чем станет определяющим отражение волны (обратное
рассеяние), существенную роль будет играть рассеяние на малые углы
(поперечная диффузия волны). Статистическое описание волнового поля для
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 135 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed