Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
Отметим, что в § 3 гл. 5 они были получены другим способом, исходя из
описания задачи с помощью интегрального уравнения. Принципиальным
отличием систем (7.53), (7.54) от исходной задачи (1.1) является то, что
уравнения теории инвариантного погружения удовлетворяют условию
причинности. Представим волновое поле U (х, L) в виде
U (х, L) = А (х, L) ехр {- ikx) + В (х, L) ехр {ikx}, (7.56)
где В (х, L) связана с функциями А (х, L) н R (.г) условием
В (х, L) = А (х, L) В (х) ехр {-2ikx}, (7-57)
и, следовательно,
U (х, L) = А (х, L) [1 + В {х)\ ехр {-ikx}. (7.58)
Подчеркнем, что функция R {х) в (7.57), (7.58) не зависит от параметра L.
Дифференцируя выражения (7.57), (7.58) по L, получаем с помощью (7.54)
следующие уравнения:
дА ('дЬ'Ь'>'= г"^ "Г А А (х, х) = ехр {ikx},
(7.59)
dB(X0'L- = № -г- (i -f Rl) В {х, L), В (х, х) =
= Вх ехр {-- ikx).
241
Уравнения для функций А, В, U отличаются только начальными значениями.
Введем теперь, как и ранее, функции
а (х, L) = А (х, L) ехр {уа;}, Ъ (х, L) = В (х, L) ехр {-ух}, (7.60)
удовлетворяющие уравнениям
= Н а --1 - i -jdy [ 1 + Rl] а, а {х, х) = ехр {ixx},
= ihb -j- i [1 -J- Rl] Ъ, b (х, х) = Rx ехр {,- ixx}. (7.59')
Функции а (х, L) и Ъ (х, L) описывают амплитуды встречных волн. Введем их
интенсивности
П\(х, L) = | а |2, W2(x, L)=\b |2,
которые, очевидно, удовлетворяют уравнениям
-±- Wn (X, L) = - 2yWn (X, L) + i^r Щ [Rl ~ R*l] Wn (x, L)
(7.61)
с начальными условиями
Wx(x, x) = 1, W2(x, x) = | Rx |2. (7.62)
Используя (7.53), для функции px = | Rx |2 получаем
dp* -_4Yp,-i-!-i^(l-pK)(flK-ig), po = 0. (7.63)
dx
Перейдем теперь к статистическому описанию. Будем считать, как и
ранее, что в (х) - гауссовский б-коррелированный случайный процесс.
Введем функцию
Фь (И^1,^2,р)=б Шх,Ц - WJ б Шх,Ц - W2) 8[(Pl - р), (7.64) удовлетворяющую
уравнению Лиувилля
дФЬ ! д лтт , д ттг , о д
-яг-*г (ТВ- w' + Ж + 2 i р] ф' -
- тт Ыт"'. + дат,Гг -?<*-">]*№> <"* - д*>
(7.65)
с начальным условием при L = х t 0L=x(Wlt Wg, Р) = б (HW) б (W2 - р) б
(р, - р). (7.66)
Усредним уравнение (7.65) по ансамблю реализаций ё (L). Полу-242
чим для совместной плотности вероятностей Wn, р уравнение dPb(W 1' W°-'
Р) о / д "г , д ттг , 0 д
дЬ
D_
2
2*(W7+ Ж7w' + (W" w" p> +
m\w*+mw-- - v(1 - p)]
(Rl-R*l)2 Фь>
(D = w) (7'67)
0
D
с начальным условием при L = х
Px{Wi, W2, р) = б (Wt - 1) б (Ж, - р) р,(р). (7.670
Уравнение (7.67) не замкнуто относительно функции PL (Wn, р).
Учитывая, что нас интересует медленное изменение статистических
характеристик решения задачи, можно обычным способом усреднить уравнение
(7.67) по быстрым осцилляциям. В результате получим уравнение Эйнштейна -
Фоккера dPL(Wx, W2, р) / д д ТТ/ , 9 д \ D
-----аь-----= 2y(m*1+8WlW* + 2-Wp)PL +
+ D[mw'+<mw*--k"-p)]p<' +
+ D [дк Wl + Шг P)]2 9Pl(Wi, W" p) (7.68)
с начальным условием (7.67'), где функция Рх(р) удовлетворяет, очевидно,
уравнению
^ ер* <р> -20 i Р (' - р>р. (р) +
+ -А(р) = б(р). (7.69)
Уравнения (7.68), (7.69) полностью описывают статистические
характеристики интенсивности волны. Если же интересоваться интенсивностью
отдельных встречных волн, то для них получается более простое уравнение
dPL(W, р) / Q ,0й \ П ,11/ ч ,
---8L---= 2v(wW + 2^Pj^(^ Р)^
-JLfp -L
аТ'Г к дР
¦W--?r{l-p)\PL +
D
[mw--k(l-ri]*vPL(w,p) (7.68')
с начальными условиями
Р) = 6 (^ - 1) Р,(р), РХ(Ж2, р) = 8(W2~ р)Рх(р). Из уравнения (7.68')
следуют уравнения инвариантного погру-
243
жения для первых моментов
;И'(.г, L)> = - 2v <1F> - D [<IV> - <PVT >]
с начальными условиями при L = х:
CW.ix, х)У = 1, <W2(x, х)} = <р,>. .
Л ? >
Умножая уравнение (7.68) на И7/ TFj2 и интегрируя по \\\,
W2 получаем для функции Ql (Xlt h2, р) ¦ Pl {W\, W2, p) более простое
уравнение dQL
\\ dWydW2W\lW^
dL
ba-2
¦^p)Ql-D[k + K+-^(1-p)]Ql + -)- D ?Я2 -j- (1 -• p) pQl{Xi,
