Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах - Кляцкин В.И.
Скачать (прямая ссылка):
где коэффициент диффузии D = х2а2/0/2 | ё | 2. При выводе (7.25)
используется также формула, вытекающая из (7.12):
Wx(x) q (х) - W2{x) р (х) = 1 + Ъ (х) и (х) + Ь*(х) и* (х). (7.26)
Начальным условием для (7.25) является равенство
P0(Wlt W" p,q) = б (Wx - 1) б (р) б (g - 1) (7.27)
где Рь(И/2) - плотность вероятностей для квадрата модуля коэффициента
отражения волны от слоя среды.
Отметим, что из уравнения (7.25) следует равенство
<{Wlq - W2p)> = 1 (7.28)
и уравнения для первых моментов величин W^x), W2(x), играющие роль
уравнений переноса:
4- <^> = 2у <^> + D <(И^ - Wt) (WlQ - W2p)},
<Т (7.29)
± <И^> = - 2V (W2> + D <(W\ ~ W,)(Wiq - И">,
с начальными условиями
<^(0)> = 1, <ж,(0)> = < I Rl |2>. (7.30)
Выражение, стоящее в правой части (7.29), связано с корреляцией функций
Wlt W2 и р, q, описывающих влияние начальных данных на поведение Wi(x).
Если выражение Wxq - W2p заменить на его среднее значение, равное единице
(см. (7.28)), то получаем уравнения, соответствующие линейной теории
переноса. Отметим, что при х ->- 0 поведение функций (W^),
как это следует из
(7.29), (7.30), описывается формулами
<W1(x)'> 1 + {2Т +Д (1 -<| Rl |2"} х, (7.31)
<ОД) = < IRL 12> - {27 < I Rl |2> - D (1 - < | Rl |2"} * (х < 0).
236
Уравнения (7.29), (7.25) и формулы (7.31) справедливы для слоя любой
конечной толщины L. Если теперь перейти к пределу L -> оо, то функция
Pl(Wz) в (7.27), как отмечалось выще, будет иметь стационарное
распределение
^(^8)=(TJL-2exp[-i&_], , (7.32)
и величина < | RL | 2}, фигурирующая в (7.30), (7.31), вычисляется по
этому распределению.
Сравним теперь точное решение (7.31) с соответствующим решением
уравнений линейной теории переноса. В линейной теории переноса исходными
уравнениями являются (L = оо)
= 2aWi + 6 (Wx - TFa), W! (0) = 1,
(7.33)
= _ 2aW* + 6 (W1 - Wi), W2(0) - R,
где неизвестная константа R определяется из условия отсутствия растущей
экспоненты на а: = -оо, а феноменологические параметры а и б играют роль
коэффициентов затухания и диффузии. Соответствующее решение задачи (7.33)
и еет вид
\Уг(х) = е**, W,(x) = Re^x, I = 2/а (а + б),
R = (2а + б - Ь)/б. (7.34)
Сравнение решения (7.34) при х-> 0 с (7.31) показывает, что невозможно
отождествить параметры а, б с истинными коэффициентами у, D и формулы
(7.34) несправедливы для любых достаточно малых значений х. Таким
образом, линейная теория переноса для полуплоскости, заполненной
случайно-неоднородной средой, не применима в общем случае. Решения
согласуются с параметрами а - у, б - D, Д = < ] Rl |2)> лишь в
асимптотическом пределе Р 1. При малых значениях а: уравнения (7.33)
справедливы с параметрами а = у, б = D, Д = < | Rl |2>, однако они
довольно быстро перестают быть справедливыми, так как решение их содержит
растущую с расстоянием экспоненту.
Рассмотрим случай 7 = 0. Тогда Р<х {W^j = б (W2 - 1) и
PX(W17 W2, p,q) = б (Wt - W2) Ь (q - р ~ \) PAW1; q),
(7.35)
так как в этом случае сохраняется поток энергии, т. е.
JL [Wl (X) - W2 (х)]= ± [q (X) - р (*)] = 0.
Подставляя (7.35) в (7.25) и интегрируя по W2, р, q, получаем уравнение
для Рх (Wx) = <6 (W^x) - Wt)} вида
3Р (Wi) Я2
-^~ = -DJL-WlPx(Wl), Л0(^г) = Д(И^г-1), (7.3П)
237
что соответствует логарифмически-нормальному распределению для величины
W^(x). В частности, из (7.36) следуют формулы
полученные ранее другим путем в четвертом параграфе.
Аналогичным образом можно рассмотреть задачу о статистических
характеристиках поля источника в безграничной среде. Пусть источник
расположен в начале координат, величины, соответствующие значениям х sg
0, будем отмечать индексами + . Рассмотрим вначале слой конечной толщины
с границами в точках -L_, Ь+. В этом случае волновое поле U (х) в области
-Ь__ х L+ описывается уравнением
Граничными условиями при -L_, L+, как и ранее, являются условия
непрерывности поля U и его производной.
Волновое поле в областях х 0 можно представить в виде
и отметим, что величина R_ соответствует коэффициенту отражения волны от
слоя среды, занимающего область (-Ь_, 0), в предположении, что в правой
полуплоскости 8 = 0. Величина же i?+ соответствует коэффициенту отражения
от слоя среды (0, Ь+). Следовательно,
<Ил1(ж)> = 1, <yV\ (х)> = ехр {- 2 Dx} и т. д.,
^ + k*[l+ Щ-]и = ШЬ(х) (k = x + iy), (7.37)
откуда вытекают граничные условия при х = 0:
и+ (0) = U_ (0), и\ (0) - С/1 (0) = 2гк. ¦
(7.38)
U+ (х) = а+ (х) ехр (-Ых) + Ь+ (х) ехр (Ых), (7.39)
