Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
(полное давление P = pG +Pr, внутренняя энергия в расчете на единицу
массы E = EG+ER):
ри = - pxD,
Как и раньше, величины, обозначенные индексом "1", соответствуют
бесконечно удаленным точкам перед вязким скачком, где поток с фронта F -
0. Величины без индекса относятся к любой промежуточной точке.
Рассмотрим прежде всего случай, когда за вязким скачком давлением и
плотностью излучения можно пренебречь. Физическое состояние газа в каждой
текущей точке перед фронтом волны изменяется под действием падающего
потока излучения так, что в каждой точке перед вязким скачком выполняются
условия (11.35) при pR = Er =0.
Введем, как и раньше, обозначения
В результате после несложных преобразований из (11.35), положив
предварительно pR = 0, находим
Исключая из этих уравнений т? и пренебрегая высшими порядками величины
ATi/D2 ~1/М2, т.е. считая волну достаточно сильной, находим выражения для
потоков перед и за фронтом ударной волны,
Поток лучистой энергии с фронта ударной волны находится путем решения
уравнений моментов (3.17) - (3.18) при граничных условиях (3.19) и
условиях непрерывности характеристик поля излучения при переходе через
вязкий скачок (11.27). Потребуем также, чтобы в точке т = 0 лучис-
Р + ри2 = Рх + pxD2,
(11.35)
{
(11.36)
(11.37)
F. =
(11.38)
(1 - г) А
Р+ =----------------------
2г(1 -2 г)
Dp 1 (Г+-Г2),
(11.39)
причем
D2
Т2 =г(1 - г)-.
А
(11.40)
72
тые потоки были равны гидродинамическим, а также чтобы были равны
производные этих потоков в точке т = 0:
(11.41)
FJ 0) r ~ Fa (0)л ; Fb (О), = (0)л.
dFa г _ dFan dFb г dFbn
dr S II О О II К т=0 dr
г-0
Поток излучения Fл находится после приведения системы (3.17) к одному
дифференциальному уравнению второго порядка:
d*F dB
-~-3F-4ir---------0. (11.42)
dr2 dr
Воспользовавшись представлением (11.34), находим решения
п 4<га, [Г*-Г?]
Fa = Cte-^3T +------------- е~ >т, (11.43)
3 -af
Fh = Сге
.ч/зт ! 4оа2[П-Г?]^ al -3
(11.44)
В конечном итоге из (11.38), (11.39), (11.40), (11.27) и (11.41),
пренебрегая 3ADpi 3ADpx
малыми величинами ----------- и г, находим после несложных преобра-
32 о Г_ 16а Г3
зований основные параметры структуры ударной волны:
Г_ * Т2. Т+* 1,5 Т2.
9ADPt р,
а, = г- =" 1,43 • 1038 ----------
8оГ?
Pi D5
а2 =
18а
ADpt
= 1,42 • 10Г
" FtD5
Pi
(11.45)
так что
a, =.
20,25
a2
(11.46)
Масштабная тк и полная оптическая толщина зоны прогрева гп (при которой
Г(тп) = Тх) оцениваются соотношениями
Тшс='
1 8o7l
a, 94p,D
(11.47)
4 Тг Pi Ds T2
т" = - In - = 2,8- 10Г38 ---------------------- In -
a, Г, p, Г,
(11.48)
1 Pi
Толщина пика температуры за фронтом ударной волны равна т2 ^ ^-.
a2 Ds
Эта величина быстро уменьшается с возрастанием скорости волны D.
73
С учетом (11.40) нетрудно убедиться, что с точностью до коэффициента
порядка 2 выражение (11.47) совпадаете (11.3) и (11.23).
Итак, если в оболочке звезды с параметрами рх = 10~7 г/см3, Тх = 5000 К
движется ударная волна со скоростью D = 42 км/с, то Т2 = 40000 К, = =
0,0110, полная толщина зоны прогрева гп= 760, а ее геометрическая про-
7*п
тяженность хп= -- ^ 12 м, где к ^ 10Г1 7 см2 - коэффициент поглощения Nxk
с основного уровня атома водорода. При той же скорости волны в оболочке с
плотностью pi = 1СГ10 г/см3 протяженность зоны прогрева уже порядка 12
км. Это ничтожные по масштабам размеры. Но, как уже отмечалось, в зоне
прогрева существенно изменяется спектральный состав выходящего на
бесконечность излучения.
Рассмотрим теперь сильную ударную волну, у которой температура за фронтом
выше предела (11.32). В данном случае в задаче о структуре единственной
неизвестной величиной будет так как р_ = р2, Т_ = Т+ = Т2, а2 = 0.
Представим функцию источника перед фронтом ударной волны в виде
BJt)=-T4Jt) = - Т$е~а>т. (11.49)
7Г 7Г
Для определения параметра воспользуемся условием, что поток лучистой
энергии через фронт волны равен гидродинамическому. Далее представим
лучистый поток на оптической глубине т в
интегральной
форме:
F" = 2тг [ } В(т')е~^г-Т,) dr В(т)е~^(т'-т) dr). (11.50)
_оо Г
о
Учтем теперь, что при т < 0 В(т) = - Т%, а при г > 0 верно соотношение
я
(11.49). Таким образом, величина потока лучистой энергии на фронте
ударной волны (т = 0) равна
I 2 oT^oli 2
Ч = ъ -оТ\*х. (11.51)
Iт-о V3(\/3+a,) з
Приравняем этот поток к гидродинамическому, определяемому из системы
(11.4), в которой под Р, Е следует подразумевать полное давление и
внутреннюю энергию смеси газ - излучение. Воспользовавшись переменными
0=-. т? = -, (11.52)
Р р
и представляя внутреннюю энергию смеси газ - излучение в
виде (1.7),
находим вместо (11.36) и (11.37)
*?(1 -т?) ,
Т =---------/3D2, (11.53)
А
(1 -V)(V~nl)A
^ = ТТм ГТ~ Р'ОТ' (1154)
2т?? (1 -т?,)0
74
К2 - 1
причем здесь ть ----------. Отсюда, исключая т?, находим
К2 + 1
ApxDT
FT = ---------. (11.55)
(К2-1)0
Приравнивая (11.51) и (11.55) и полагая Т = Та (0) = Т2, р_ = р2 и ft, =
= Р2, находим выражение для параметра :
