Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
неравновесной области в зоне прогрева вообще нет.
Всесторонний анализ задачи о структуре фронта ударной волны с учетом
эффектов излучения дан в работе B.C. Имшенни-ка и Ю.И. Морозова (1964) и
в нескольких других статьях B.C. Имшенника (1962 а, 1962 6, 1975) и Ю.И.
Морозова (1971). Приближенное ее решение дано в нашей работе (И.А.
Климишин, 1968).
А гг
Ч Т1
L 7 X
Л Л Л
Pi
Рис. 27. Профили температуры и плотности в ударной волне докритической
амплитуды.
66
При решении задачи о структуре ударной волны в общем случае, когда
существен вклад излучения в давление и энергию среды (а не только его
роль в лучистом теплообмене), B.C. Имшенник и Ю.И. Морозов исходили из
уравнения переноса (3.8) и вытекающих из него в приближении Эддингтона
соотношений (3.13) - (3.15), в которых учтено движение вещества. При этом
законы сохранения массы, импульса и энергии, выполняющиеся в текущей
точке пространства, удобно представить в виде ри = рхих,
Р(; + pU2 +К = Рс,\ + Pl^l + К
р\ .
7Ра
1(7-1 )р Здесь F -
и
2
ри + F
Г УРсп и] 1
= +---- р,и,
1(7-1)Pi 2 J
+ F,
Р1 •
(11.4)
477
поток энергии излучения и К--К -
с
плотность потока
импульса излучения, Fpv\ Кр - их равновесные значения, определяемые
соотношениями (3.10) и (3.16). Индексом "1" обозначены величины,
соответствующие бесконечно удаленным точкам перед фронтом ударной волны.
Напомним, что фиксированная система отсчета связывается с вязким скачком.
При записи уравнения (3.8) предполагалось, что коэффициент поглощения
излучения не зависит от частоты, эффекты рассеяния излучения не
учитывались.
Для сильной ударной волны Тх < Т2 (Т2 - значение температуры в бесконечно
удаленной точке за фронтом). Поэтому с достаточной степенью точности
можно положить Тх - 0. Тем самым мы пренебрегаем давлением и плотностью
энергии невозмущенного газар^ v\pxEGx по сравнению с динамическим
давлением газа pxD2. Для анализа задачи удобно величины, входящие в
систему (3.14) - (3.15), представить в безразмерном виде, так что
7 - 1
г:
В
и далее
ат2
D2
Т
8 nJ
Q
Ьх =
D
с
Pi
V =- Р
7 + 1
cpxD
2 '
8 оТ\
3cpxD2 '
2F СР\D2
К'
8 ттК cpi D2
(11.5)
(11.6)
В результате несложных преобразований система (11.4), (3.14) - (3.15) с
учетом соотношения (1.1) сводится к виду
К1
(11.7)
ЯГ = т? 1 -т?
F' =у \ (1 - т?)(17 - г)
¦К'п
1 +г
dK'
dr
dF'
dr
= -[Я' + Ф?(ДГ'+351Г4)], = -3lK'-3it*)-qnF'.
(11.8)
(11.9)
(11.10)
67
Граничными условиями для F* и К* за фронтом ударной волны являются
соотношения (3.16), так что
АГ'|т=-~ =5,, FX=1" = -4<7t?15,( t=1. (11.11)
Pl
причем 1 =-- величина предельного сжатия. Если теперь подставим
Р2
(11.11) в (11.7) и (11.8), то получим в безразмерном виде условия Гю-
гонио, выполняющиеся на фронте ударной волны,
М1- ч.ш121
1 - 7г ' Т|! (1 -7г)
Величины В и 5, существенно положительные. Поэтому из (11.12) следует,
что при г < 1/7 выполняется также неравенство
1
r<Vi < ", (11.13)
и наоборот, при г > 1 /7 1
-<Т7 !<г. (11.14)
7
Последнее имеет место в случае одноатомного газа с у = 5/3
и г= 1/4.
Далее из (11.12) следует такой вывод: если за фронтом
ударной волны
/ 2 Bt\
Гт)
излучение играет главную роль ( К >-^ J, то 1 12
В^О' т?! ^ . (11.15)
7 7
Попутно отметим, что из последнего равенства (при р2 =Pr) следуетза-
висимость температуры за фронтом сильной ударной волны от ее скорости D в
виде (8.16). Если же роль излучения ничтожно мала, то из (11.12) находим
6, *0, В^г( 1 -г), г?, ^г, (11.16)
откуда следует Г2
Система уравнений (11.7) - (11.10), описывающих структуру сильной ударной
волны, должна решаться при следующих граничных условиях:
K' = F' = t = 0, (11.17)
при г = °°, что соответствует начальному состоянию невозмущенного газа, и
К' = д 1, я' = -4ф?161. (11.18)
а также
f = 1, (11.19)
при т = -00 (конечное равновесное состояние за фронтом волны).
Исследование системы (11.7) - (11.10) проведено B.C. Имшенником и Ю.И.
Морозовым (1964) и B.C. Имшенником (1975). Решения для неравновесной
области (расстояния от фронта ударной волны т>тк) нахо-
68
дятся при очевидном условии, что плотность излучения, приходящего из
нагретых областей, существенно больше равновесной плотности излучения в
данной точке или что К' > Г4. Поэтому если в (11.9) и (11.10)
пренебречь членом 5jr4 и членами, содержащими q, то нетрудно получить
такое решение,
К' = const е~^т (11.20)
F'=y/3K'g
(11.21)
которое соответствует экспоненциальному нарастанию температуры от Т- 0 до
Г = Гк, как и в случае земных ударных волн.
В равновесной области перед вязким скачком излучение находится в
локальном термодинамическом равновесии с веществом, поэтому имеем К' = t4
и система (11.7) - (11.10) может быть записана в следующем виде
(приближение лучистой теплопроводности) :
d
dr
F'=-
/
1
T? = -
V)(V - r) -61 r4T7
is, r4) = -^[<i -'
. 1 +r I (1 -r) -5,f4Tj---I,
A
1 -7 rj
1-------6,f4
2
4 Bt
(11.22)
Анализ этой системы показывает, что по мере приближения к вязкому скачку
