Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
(при г-*0) роль эффектов излучения все возрастает. Из дифференциального
уравнения системы (11.22) следует, что протяженность равновесной зоны
прогрева по порядку величины равна
5, 8оТ\ 12с
3ptD3
70
(11.23)
причем указанный предел соответствует экстремально сильным ударным
волнам.
В области за вязким скачком (т<0) плотность излучения постоянна и равна
предельной: f = J\ = 351, хотя вблизи вязкого скачка равновесная
плотность излучения J* = 35 х t4 может не быть равной ей. Полагая
dK'
К =81 и пренебрегая производной -, а также вторым членом в пра-
dt
вой части (11.10), имеющим порядок малости q2, можно свести систему
(11.7) - (11.10) к виду
Bt = т?^1 -т?--1б,у
-Яи
F
-
dr
т?)(Ч - г) (1 + г)Ф
2
¦!
= -36,(1 -t4).
(11.24)
6"
откуда следует дифференциальное уравнение drj _ 36,г 1 - г4
dr 2q 1/1 \ (11 251
n+_/_5i_i)n+r) И1.25)
Заменяя, как и раньше, производную в левой части уравнения (11.25)
dv V
отношениями самих величин - , находим, что за вязким скачком
dr т
оптическая толщина температурного пика по порядку величины равна Q 1
73 ^ (11.26)
"1 Тк
т.е. она обратна оптической толщине равновесной области перед вязким
скачком.
Особый интерес представляет определение условий, при которых происходит
замена разрывного решения непрерывным. Как и на рис. 27, обозначим
параметры непосредственно перед и за вязким скачком соответственно
знаками - и +. В этом случае при переходе через вязкий скачок поток
излучения F, средняя интенсивность излучения J и поток импульса К
меняются непрерывно,
F_ = F+ , J_ =J+ , (11.27)
причем также = Т2 (f+ = 1). В итоге из (11.22) и (11.24) при
условии
равенства потоков находим следующее соотношение между скачками
плотности перед (т?_) и за фронтом (т?+) волны:
Т?1 - (1 +r)(l - ^5,)т?_=Г)2+ - (1 +r)(] <11-28>
Отсюда следуют два решения:
т?<|)= (1+г)^1 --^5,^-т?_, Г?(+2) = Т?_. (1129)
Первое из них соответствует скачку плотности, второе - ее непрерывному
изменению при переходе через вязкий скачок. Условие, при котором
происходит замена разрывного решения непрерывным, следует из (11.29),
если там положить V+=V_ = V* (звездочкой будем обозначать параметры на
границе между разрывным и непрерывным решениями) :
Ч* = ^ (1+r)/l--1-5г). (11.30)
Кроме (11.30), величины 77* и 5* должны удовлетворять второму условию
Гюгонио (11.12). Совместное решение этих двух уравнений при заданном г
однозначно определяет 77* и б?, так что
15г - 11
1
4г(1 + г)
15г - 1
¦vT'
16г(1 + г)
(11.30' )
Подставляя найденное 77* в (11.12), находим 6J и В*. В частности, при г
=1/4 (7 = 5/3) имеем т?* =0,150, 5 f = 1,52, В* =0,0134.
70
Рис. 28. Профили температуры и плотности в ударной волне сверхкритической
амплитуды.
Оказывается, что разрыв плотности на вязком скачке существует, если
выполняется неравенство
В>В* = т?*2-- = -г?*2, (11.31)
1 + г 7
и исчезает при В < В*. Условие В = В* означает, что скорость вещества за
фронтом ударной волны и2 (относительно фронта) равна адиабатической
скорости звука в газе (без учета вклада равновесного излучения в
уравнение состояния) (B.C. Имшенник, 1962 а, 1975). В более ранней работе
В.А. Белоконь (1959) рассмотрел исчезновение скачка, опираясь на
приближение лучистой теплопроводности, которое приводит к несколько
большему расчетному Значению 17*. В этом приближении критерием
исчезновения скачка служит равенство между и2 и изотермической скоростью
звука, а не адиабатической, как в описанном выше более точном анализе.
Таким образом, для сильных ударных волн температура и плотность при
переходе через вязкий скачок меняются непрерывным образом
1
(рис. 28). Это имеет место при плотности р2 = - Pi = 6,68р! и температуре
г?*
ftp 1
25* Pi а*
1,23
108 У- К, Pi
соответствующим движению ударной волны со скоростью
'ятГ
0,
8,72
103Vt км/с. Pi
(11.32)
(11.33)
При 0 > 0* на фронте волны выполняются равенства р_ = р2 и Г. - 7"+=
= т2.
Величина 7% в четыре раза больше температуры, при которой давление
излучения сравнивается с газовым. В атмосфере Солнца при плотности pi =
10"7 г/см3 и pi = 1 находим, что 7\ = 570000 К и 0*=6ООкмЬ. Если Pi =
10"10 г/см3, то 0* = 190 км/с.
Перейдем теперь к изложению приближенного решения задачи о структуре
сильной ударной волны, в предположении, что функция источника перед и за
вязким скачком может быть аппроксимирована выражениями
Ва(т) = - ТАа (т) = - [(71 л л
7l)e-">T + 7l],
0 < т <
(11.34)
Вь(т) = - Т*ь (т)=-[(Т\-Т\)е?*>т + Т$], - оо < г < 0.
Я я
Здесь Oil и а2 - постоянные, определяемые из граничных условий. При г =
±°° аппроксимация (11.34) естественным образом представляет температуру
на значительном удалении от фронта ударной волны.
71
Структура фронта сильной ударной волны находится путем решения системы
уравнений, рассмотренных ранее. Это условие сохранения массы, импульса и
энергии, уравнение состояния и уравнение переноса излучения. Здесь
запишем законы сохранения с учетом давления и плотности энергии излучения
