Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
pV6
(14.8)
а 1
где а, - скорость звука в невозмущенном газе.
Б. Движение ударной волны в неоднородной среде. Л.И. Седову удалось также
получить решение, описывающее движение сильной ударной волны в
неоднородной среде, плотность которой изменяется с расстоянием по закону
р, =Ar -и> при со = const. В частности, для сферической ударной волны
(Л.И. Седов, 1977)
J 2 о у /л\ 1/2 "Lr3
у I . 5-W
гф " ?0
(149)
где Ь по-прежнему определяется из условия сохранения энергии (14.4). Из
этого решения следует, что в среде, распределение плотности в которой
подчиняется закону р = Ar , ударная волна движется с ускорением, если со
> 3. Однако при этом масса, заключенная внутри сферы радиуса г ф,
бесконечна, тогда как при со< 3 она конечна.
Автомодельной является также задача о движении ударной волны к
поверхности среды, плотность которой изменяется по закону р = Вхп, где х
- расстояние, отсчитываемое от поверхности вглубь. Именно таким законом
описывается строение внешних слоев звезды, находящихся в лучистом или
конвективном равновесии (см. § 5). В данном случае в задаче имеется лишь
один размерный параметр В, тогда как другой - энергия взрыва, - не
задается. Можно предположить, что ударная волна является плоской, а в
качестве автомодельной принять величину
хф Axtb
где A i - постоянная, b - так называемый показатель автомодельности,
который заранее неизвестен. Он определяется из условия существования
физически однозначного решения системы (6.1') -(6.3') после
преобразования ее к системе обыкновенных дифференциальных уравнений с
учетом, что при соответствующей нормировке все неизвестные величины
зависят от х и t в комбинации (14.10). Величина Хф определяет положение
фронта ударной волны в заданный момент времени t (на фронте волны ? = 1).
Скорость ударной волны равна 1 1 -ъ 1
Ъ - 1
D = Axbt так что
-L А.
D = ЬА*[ 8"р,
ЬАЬ1 х
Ф
ЬА\ х,
Ф
(14.11)
const р j я, (14.12)
где для сравнения с решениями, полученными другими методами, введено
обозначение q =~~, причем также b = ---.
х 1 +х
87
Таблица 4. Показатели автомодельности для избранных значений у и гг.
У 1,1 4/3 5/3
п А 1/<7 А 11Q А 1/<7
1,5 0,204 '0,136 0,286 0,191 0,330 0,220
3,25 0,429 0,132 0,602 0,185 0,696 0,214
Методика определения показателя автомодельности b подробно уже
разработана, некоторые результаты расчетов приведены в табл. 4. Как
видно, параметр X существенно зависит от величины у. В интервале у = =
4/3+5/3 его с точностью не хуже 1,5% можно аппроксимировать выражением
(Э.К. Грасберг, 1981)
X = (0,865)"+11 л^2 + j . (14.13)
В частности, если в звездной оболочке давление газа сравнимо с давлением
излучения (Г! % 1,43), то q ^5 nO^pf1^5. В целом же решение
(14.11) может быть использовано лишь в случае движения ударной волны
х
в самых внешних слоях политропной оболочки при h =----------^ 0,1, так
как
/ ^ * при больших h распределение плотности в ней описывается не формулой
(5.8), а формулами (5.4) и (5.6). Значения параметров газа за фронтом
ударной волны находятся численным интегрированием упомянутой выше
системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
При решении ряда задач космической газодинамики могут быть использованы
полученные А.С. Компанейцем (1960), Э.И. Андрианкиным, А.М. Коганом, А.С.
Компанейцем и В.П. Крайновым (1962) результаты изучения особенностей
движения ударной волны, возникшей при сильном точечном взрыве в
неоднородной атмосфере с распределением плотности
Pi = Pioe~h^Hf хотя эта задача и не является автомодельной. Здесь, кроме
величины выделившейся энергии Q и плотности в точке взрыва Рю, движение
характеризуется еще масштабной высотой Н. Кроме того, движение не
одномерно, а двумерно, оно симметрично относительно вертикали. Закон
движения волны был получен вначале на основе предположения, что, как и в
случае взрыва в однородной среде, давление выравнено практически по всему
охваченному взрывной волной объему и в каждый момент времени оно
постоянно вдоль поверхности фронта ударной волны. В дальнейшем зависящая
от двух независимых переменных - времени и полярного угла - система
дифференциальных уравнений, описывающих законы сохранения массы, импульса
и энергии, решалась численно на ЭВМ.
Главной характеристикой задачи является величина т, имеющая размерность
времени:
у5\1/2
(14.14)
¦ (Т)
Разрез поверхностей фронта ударной волны вертикальной плоскостью,
t
проходящей через точку взрыва, для моментов времени-* 5,8; 12,2;
Рис. 36. Сечение поверхностей фронта ударной волны вертикальной
плоскостью, проходящей через точку взрыва, для нескольких моментов
безразмерного времени г (случай неоднородной среды).
18,0; 21,4; 23,1 при 7 = 12 показан на рис. 36. Видно, что форма фронта
ударной волны непрерывно изменяется. За время t ^ 24т происходит "прорыв"
волны на бесконечность. К этому времени ударная волна успевает пройти
вниз расстояние порядка 2Н и по горизонтали (на уровне точки взрыва) -
около 3,5 Н. Это решение можно использовать, однако, до тех пор, пока
