Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
так что форма его распределения вдоль координаты остается неизменной.
Движение будет автомодельным и в случае, если автомодельная переменная
имеет вид ? = г г а, при условии, что а = const. Здесь уже масштабы самих
газодинамических величин со временем изменяются; однако, как и прежде,
форма их распределения в пространстве остается неизменной.
Математическим следствием предположения об автомодельности движения
является возможность свести систему нелинейных уравнений газодинамики в
частных производных к. системе обыкновенных дифференциальных уравнений, в
которых единственной независимой переменной является автомодельная
переменная ?.
Задача о движении газа будет автомодельной, если она характеризуется не
больше, чем двумя параметрами с независимой размерностью. Такими
параметрами могут быть, например, энергия взрыва Q и начальная плотность
среды рх при изучении движения ударных волн в земной и звездной
атмосферах, скорость движения газа за фронтом волны и2 и плотность
невозмущенной среды рх в случае движения ионизационной волны в
межзвездном пространстве и т.д.
Типичным примером автомодельного движения является движение, возникающее
при сильном взрыве в воздухе. Впервые эта задача была решена в 1944 г.
Л.И. Седовым (1977), получившим точное аналитическое решение уравнений
автомодельного движения. Позже метод автомодельности был использован для
изучения сильного взрыва в звездах (Р.А. Саг-rus, Р.А. Fox, F. Haas, Z.
Kopal, 1951).
При этом было установлено, что в сферическом случае этот метод применим
лишь при степенном законе изменения плотности и других параметров в
звездной оболочке. Г.М. Гандельман и Д.А. Франк-Каменецкий (1956), а
также А. Сакураи (A. Sakurai, 1960) рассмотрели выход сильной ударной
волны на поверхность звезды, плотность в оболочке которой изменяется по
закону р = Вхп (х - расстояние до поверхности звезды). Эта задача также
сводится к автомодельной.
Результаты автомодельных решений, представляющих астрофизический интерес,
подробно обсуждены Я.Б. Зельдовичем и Ю.П. Райзером (1966). Поэтому здесь
мы ограничиваемся лишь сводкой важнейших разультатов.
А. Сильный взрыв в однородной атмосфере. В данном случае сферическое
движение газа определяется величиной энергии взрыва Q (размерность [Q] -
эрг) и начальной плотностью среды рх. Начальным давлением газа рх
пренебрегают по сравнению с давлением на фронте ударной волны р2. Из
параметров задачи Q и рх переменных г и t можно составить безразмерную
комбинацию
которая и будет автомодельной переменной в данной задаче. При перемещении
фронта ударной волны значение величины ? на фронте ? = ?0 сохраняется.
Поэтому из (14.1) следует закон движения сферической ударной врлны в виде
(14.1)
(14.2)
85
а скорость распространения сферической ударной волны равна с/гф 2 (Q \1/5
... 2 .(Q \1/2 1
D=T^=tM~ f = Т^'( -) ITT' (143)
Л 5 \ Р./ 5 \р,/ г#2
причем параметр ?0 определяется из условия сохранения энергии волны
/ф / i/2\
Q = 4тг / г р + - Jdr • (14-4>
При показателе адиабаты 7 = 1,23 имеем ?0 = 0,93, если же 7 = 1,4, то ?о
= 1ДОЗ.
Для цилиндрического ([Q] = эрг/см) и плоского ([Q] = эрг/см2) движения
имеем соответственно при ?0 ^ 1
1/4 хп 1 /°\1/2 1
f1/2, О =-(- I -- . (14.5)
ГФ
¦0
¦0
Параметры газа непосредственно за фронтом ударной волны определяются
соотношениями (8.18) при М -* 00. Распределение их вдоль геометрической
координаты находится из решения системы (6.1 ) - (6.3^),
г
причем автомодельную переменную ? удобно представить в виде ?0 - .
гф
Как уже отмечалось, при автомодельном движении форма распределения
давления, плотности и скорости газа за фронтом ударной волны с течением
времени сохраняется, изменяются лишь их масштабы в результате изменения
этих величин на фронте волны.
На рис. 35 показано распределение параметров газа за фронтом ударной
волны для сильного сферического взрыва в газе при 7 = 1,23. Как видно, в
результате взрыва практически вся масса газа, равномерно заполнявшая
сферу радиуса г ф, концентрируется в тонком слое вблизи фронта волны.
Давление во всем объеме возмущенного газа' остается практи-
1
чески постоянным и равным ^~, тогда как температура по направле-
2
нию к центру неограниченно возрастает.
Вот еще несколько соотношений, которыми описывается движение сильной
сферической ударной волны в однородной среде. Для одноатомного газа
давление на фронте сильной ударной волны равно
3
Рг = --Рх02.
4
Поэтому из (14.3), также следует, что р2 ^Qr^. На некотором расстоянии г
з от места взрыва ударная волна вырождается в звуковую. Это значение
радиуса действия ударной волны можно найти из последнего соотношения,
если сделать в нем заменур2 ^Р\ .Таким образом,
/ Q \1/3
".у
86
Рис. 35. Распределение давления (/) , плотности (2) и температуры (3) за
фронтом сильной сферической ударной волны (автомодельное решение).
Характерное время действия ударной волны tc оценивается как
Л3 pi^o1'3
Р/Рг -Р/Рг
Т/Тг
