Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Далее, из неравенства Шварца вытекает
J | х (х) I dx = | | а (а) р (а) | dx ^
^ | | | а (а) |2 dx J | р (а) |2 dx j k. (8.162)
Для определенного типа операторов, действующих в гильбертовом
пространстве, выполняются примерно аналогичные соотношения. В частности,
всякий оператор Т с конечной следовой нормой является произведением двух
операторов А и В (так называемых операторов Гильберта - Шмидта): Т = АВ.
Далее, имеет место соотношение, аналогичное (8.162):
lirih^llABIh^UAIh-IIBIk, (8.163)
где величина
11 -4 ||2 = (Sp (Л^Л)}'/2 (8.164)
носит название "нормы Гильберта-Шмидта" (она, вообще говоря, отличается
от ||Л|| и от l|d|li). Всякий оператор, для которого величина (8.164)
конечна, принадлежит к классу операторов Гильберта-Шмидта. Этот класс
замкнут по отношению к сложению операторов и умножению их на с-число и
может быть превращен в гильбертово пространство (составленное из
операторов!), если определить скалярное произведение соотношением
(A, B) = Sp(AfB).
§ 4. ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
267
Предположим, что мы аппроксимируем Т = АВ последовательностью ТМ = АМВМ,
где Ам и Вм - операторы Гильберта - Шмидта. Тогда
II Тм - Т ||) = || АМВМ - АМВ + АМВ - АВ Hj <
<|| Ам (Вм - В) I!, + || (ЛЖ-Л)В[|,<
< II В м -В ||2 • II Ам ||2 + II Ам - А ||2 • II В ||2. (8.165)
Следовательно, чтобы обеспечить сходимость Тм по следовой норме,
достаточно, чтобы как Ам, так и Вм сходились по норме Гильберта-Шмидта;
это и является ключевым пунктом в рассуждениях Рокка.
Как мы сейчас покажем, такая характеристика требуемой сходимости особенно
удобна. С учетом (8.157) и (8.147) получаем
Sp (Г) = J (р, q\T\p, q)dvL = T( 0, 0) = t (0, 0). (8.166)
Для оператора Гильберта-Шмидта В находим
||B||22 = Sp(B1'.e) = 0+* й)(0, 0)= J | b(x, k)\2 dp, (8.167)
*f *
где b (х, k) = b (- х, -k). Это соотношение наглядно показывает, что
класс операторов Гильберта-Шмидта В связан с пространством L2 функций b
{x,k), причем связь отдельных элементов дается представлением Вейля
(8.158). Отсюда видно, что если весовые функции Вейля aM(x, k)^a(x,k) и
bM(x, k) -> b (х, k) сходятся в смысле нормы в L2, то операторы Тм = АМВМ
- Т = АВ сходятся по следовой норме. Интуитивно ясно (это является также
классическим результатом), что a(x,k) [или b(x,k)] можно аппроксимировать
(по норме в L2) последовательностью пробных функций ам (х, k) е S)2 [или
Ьм{х,к) ^ 0г], каждая из которых бесконечно дифференцируема и равна нулю
вне конечной области. "Свертка с умножением" двух таких функций
tM{x, k) =
= J ам (х - х', k - k') bм (х', k') ехр (kx' - х/Г)] Ф'
(8.168)
268 ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
также бесконечно дифференцируема и равна нулю вне конечной области.
Следовательно, функция
Фм (*> k) = tM (х, /г) ехр [¦-^-{х2 + ?2)] =
^Тм(х, k)ехр (х2 + ?2)] (8.169)
бесконечно дифференцируема и спадает на бесконечности быстрее любой
обратной степени (х2 + к2) (поскольку в действительности она равна нулю
вне конечной области!). Как отмечалось ранее, фурье-образ фм(р,Я) любой
такой функции тоже бесконечно дифференцируем и быстро убывает на
бесконечности. Так как ц>м(Р,я) - весовая функция в диагональном
представлении, мы полностью выполнили намеченную программу. Подведем
итог.
Всякий оператор Т с конечной следовой нормой может быть представлен
последовательностью операторов с конечной следовой нормой
Тм~ j Фм(Р. <7)1 Р. Я)(Р- Я 1Ф- (8.170а)
где функции фм(р,я) бесконечно дифференцируемы и спадают на бесконечности
быстрее любой обратной степени и где
II Т - ||, -> 0. (8.1706)
Конкретный пример последовательности <рм приведен ниже.
Несколько расширяя рассуждения Рокка, можно получить нужный для физики
результат, относящийся к матрице плотности. Так как всякая матрица
плотности положительна, ее можно представить в виде р = BfB, где В -
оператор Гильберта - Шмидта. Следовательно, можно взять такую
аппроксимирующую последовательность Ам = Вм [т. е. йм{х, k) = bu(~ х, -
k)\, что рМ = В'МВМ будет положительным оператором при всех М. При таком
выборе ф*м(х, k) = q>M( - х, - k), откуда следует, что функция фм(Р-Я)
действительна. Поскольку нормировку можно обеспечить тривиальным
§ 4. оптическая теорема эквивалентности 269
способом, всякую матрицу р можно рассматривать как возможную матрицу
плотности. Таким образом, можно утверждать следующее:
Всякую матрицу р можно представить последовательностью матриц плотности
Рм = j Фм(р, Я)\ Р> я)(р, Я\ Ф. (8.171а)
где действительные функции фM(p,q) бесконечно дифференцируемы и спадают
на бесконечности быстрее любой обратной степени и где
IIР - Рлг 111 0. (8.1716)
Ниже мы рассмотрим примеры матриц плотности, представляющие интерес для
физики, хотя большая часть результатов применима к произвольным
операторам с конечной следовой нормой.
Отметим еще раз то свойство, о котором говорилось в самом начале наших
рассуждений. Именно, для любого ограниченного оператора В имеем
<?) = Sp(pB) = lim Sp(p^B) =
М -> оо
= lim Sp f фM(p, q) | p, q)(p, q\Bdp =
