Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
пользуются выражением generalized function (обобщенная функция), придавая
ему смысл, несколько отличный от смысла термина distribution. Заметим
также, что встречающееся ниже выражение "tempered distribution" мы
переводим [следуя русскому изданию книги Шварца (Л. Шварц, Математические
методы для физических наук, изд-во "Мир", 1965)] как "умеренное
распределение"; в советской литературе иногда употребляется также
выражение "обобщенная функция умеренного роста". - Прим, перев.
258
ГЛ. 8 КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
точный смысл понятию 6-функции Дирака и его обобщениям.
Распределения. Хотя большинство читателей интуитивно представляют себе 6-
функцию как пикообразную сингулярную функцию, правильнее рассматривать ее
как функционал или как разновидность оператора. Именно, для заданного
класса функций она сопоставляет этим функциям комплексные числа,
определяемые как значения функций, вычисленные при определенном значении
аргумента. Символически обычно пишут (и мы уже неоднократно пользовались
такой записью!)
f (х0) = j 6 (х - х0) f (х) dx, (8.143)
хотя, строго говоря, в правой части мы злоупотребляем обозначениями,
поскольку не существует какой-либо величины, которая могла бы служить
подынтегральным выражением при классическом определении интеграла по
Лебегу. Существуют два способа, позволяющих сделать понятие 6(х - х0)
точным. В первом из них интеграл уже не используют, а просто считают, что
6Xi{f}=f(x0), т. е. рассматривают дх" как функционал, который
сопоставляет функции ее значение в точке х0. Во втором подходе, более
известном под названием теории обобщенных функций1), действие 6Xj
определяется с помощью равенства
f(x0)= iini [дм(х~х0)f(x)dx, (8.144)
М ос> v
где 6м(х)-некоторая последовательность функций с хорошим поведением
[например, 6уИ (х) = (М/п)'/2 ехр (- Мх2)]; для каждой из этих функций
интеграл имеет смысл. Существует, очевидно, много последовательностей,
которые могут служить определением данного распределения. Во всяком
случае, удобно определить символическую правую часть равенства (8.143) с
помощью одного из двух способов; это, конечно, неявно всегда и
подразумевается.
*) См. примечание 2 на стр. 257. - Прим. перев.
§ 4. оптическая теорема эквивалентности 259
Независимо от того, какое из определений было выбрано, 6-фуккция не
определена для всех функций f(x), так как х0 может оказаться точкой
разрыва. Отсюда берет начало понятие пробных функций (это как раз те
самые гладкие функции, о которых шла речь в гл. 3!), т. е. понятие класса
функций, на которых может быть определено данное распределение. Например,
для 6-функции допустимые пробные функции должны быть непрерывными. Во
многих случаях, однако, в качестве пробных функций удобно брать не все те
функции, для которых определено данное распределение. Благодаря этому
можно будет рассматривать одновременно несколько распределений, а также
их линейные комбинации. Классическим примером здесь является множество
таких пробных комплексных функций f(x) действительной переменной х,
каждая из которых бесконечное число раз дифференцируема и спадает на
бесконечности быстрее любой отрицательной степени х (часто это кратко
обозначается термином "быстро убывающая функция"). На каждой такой
функции можно определить распределения, включающие любое конечное число
производных 6-функции, или такие распределения, которые растут на
бесконечности, как некоторый полином. В связи с таким свойством подобные
распределения называют "умеренными распределениями"'), а пространство
пробных функций называют пространством пробных функций для умеренных
распределений и обозначают символом 9. Иначе говоря, умеренные
распределения являются линейными функционалами2) в пространстве 9'.
каждому элементу из 9 они ставят в соответствие комплексное число. Отсюда
не вытекает, что любое данное распределение (скажем, 6-функция) не может
быть определено на более широком классе функций; это скорее значит,
') Интерпретация понятия "полиномиального роста" требует осторожности.
Хотя ех не является умеренным распределением, функция ехехр(;е1) является
умеренным распределением, поскольку это есть производная от ограниченной
функции -/exp(ie*).
2) Строго говоря, умеренные распределения суть непрерывные линейные
функционалы; однако мы пренебрежем этим усложнением, так как определение
непрерывности по пробным функциям требует рассмотрения неоправданно
сложных топологий.
260
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
что удобно ограничиться рассмотрением некоторых конкретных пространств
(например, 9), свойства которых поддаются подробному анализу.
Другое классическое пространство пробных функций, обозначаемое символом
3), состоит из комплексных функций f(x) действительного переменного х,
каждая из которых бесконечное число раз дифференцируема и равна нулю вне
конечной области. Примером такой функции является f(x) = exp[-(1-х2)~2]
при и /(*) = 0
во всех остальных точках. Поскольку этот класс пробных функций уже, чем
