Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что если t(x,k) сама уже оказывается пробной функцией из 9*2, то
достаточно рассматривать просто
tM(x, k) = ехр [ - WM (х, k)\t(x, k) (8.186)
или, иными словами,
фл (х, k) = ехр [ - WM (х, ?)] ф (х, k). (8.187)
В этом случае фм(р,ч) является пробной функцией из
5^2 и II Тм - ПЬ->0, что и требовалось.
Сразу же добавим, что приведенные здесь конкретные последовательности не
единственны; в некоторых случаях могут оказаться полезными и другие
последовательности.
Смысл и некоторые примеры. Каким бы ни было состояние р системы, среднее
любого ограниченного оператора определяется соотношением (8.172).
Особенно просты выражения для нормально упорядоченных операторов В = : О
(а+, а) : , именно
( : О (а+, а); ) = J ф (г) (z \ О (а+, а) : | г) d2z =
= J ф (z) О (г', z) d2z. (8.188)
Нормально упорядоченная производящая функция [см. (8.23)] имеет вид
(ехр(шг)ехр(- и а)) =-^ J ф (г) ехр ("г' - uz) d2z. (8.189)
Можно считать, что она связана с фурье-образом функции ф. Именно, если
х + ik U з= --
ТО
(ехр(ма+)ехр( - и а)) = ф(- х, -k). (8.190a)
274 ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Умножая слева на ехр(-V21 w j2), получаем общее соотношение для
характеристической функции состояния р:
(ехр (ua+ - и'a)) = (U [k, Л']) =
= ф(-А, - А) ехр [ -(л~ + *2)]. (8.1906)
В качестве другого примера рассмотрим еще раз производящую функцию (8
101) при 0 < Ы0Т < 1. Соотношение (8.101) означает, что производящая
функция для распределения отсчетов есть среднее от
Q% = ехр (In [1 - kaQT] afa) (= : ехр (- Xa0Ta 'a) :). (8.191)
Поскольку In [1 - ЛаоТ^-^О, этот оператор удовлетворяет условию ||??;J| =
1. Так как - ограниченный оператор, наверняка имеем
Q{k, Т) = (Q7) = ( : ехр(- ka0Tafa) : ) =
= ур J ф (2) ехр (- laQT | z i2) d2z. (8.192) Распределение отсчетов
дается соотношением
оо
Q(A, 7) = 2(1 -к)тР(т, 7), (8.193а)
т = 0
или, в операторной форме,
со
&= 2(1-А.Г^т, (8.1936)
т=0
где
(¦ г +
= : -°"Г -ехР (~ ao?Va) : ¦ (8.194)
Эти операторы неотрицательны при яоТ 1, как это следует из замечаний,
сделанных ранее в связи с
(8.103). При к = 0 имеем Q0 = I = 2 ^т> Так чт0 II 11^ 1
т = 0
при всех ш. Свойство ограниченности позволяет утверждать, что
P{m, T) = {&m) = ty --ехр(- а0Ta+a) : у =
= ^ J Ф (z) (ао/^т ~ ехР (- а0Г I z |2) d2z. (8.195)
§ 4. ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
275
В действительности можно утверждать даже большее, если обратиться к
результату, полученному в связи с (8.174). Из него следует, что для
любого состояния р определенной нормальной моды величины Р(т,Т) можно
вычислять при всех m и всех Т с произволь-
ной точностью (например, с точностью ± 10-137) с помощью соотношения
(8.195), где ср(г) - бесконечно дифференцируемая быстро убывающая
функция. Это свойство дает нам значительно больше, чем мы могли бы
получить, рассматривая скорости отсчетов а(tm) (afmam). Мало того, что в
общем случае их нельзя равномерно аппроксимировать; для многих состояний
поля эти скорости или большая их часть даже не существуют1)!
Соотношения (8.188) и (8.195) со всей ясностью показывают, что
диагональное представление позволяет вычислять нормально упорядоченные
квантовомеханические выражения с помощью соотношений, формально похожих
на классические выражения, если последние записаны в терминах
аналитических сигналов. Такое сходство по форме играет важную роль не
только потому, что может служить мнемоническим правилом и облегчать
построение требуемых выражений, - оно дает нам в руки сравнительно
простое и мощное средство изучения различных величин в квантовой теории
когерентности. Сходство по форме отнюдь не означает, что квантовая теория
физически эквивалентна классической, но говорит лишь о том, что ее можно
привести к формально эквивалентному виду Именно в таком смысле следует
сформулировать "оптическую теорему эквивалентности" и именно так ее
следует интерпретировать в общем случае.
Для большинства физических примеров, обычно встречающихся в тепловых или
лазерных задачах, qp(z) фактически является положительной действительной
функцией, так что ее можно интерпретировать как нормальную плотность
вероятности. В следующей главе в связи с конкретными моделями мы обсудим
примеры, очень похожие на классические, а пока подробнее рассмотрим
частный случай матрицы плотности, когда
¦) См. примечание на стр. 237. -Прим. перев.
276
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
вес ф(г) в самом деле является распределением рассмотренного выше типа и
вида.
В качестве такого примера ') возьмем матрицу плотности р(r) = |0M)(0M| -
чистое состояние, отвечающее основному состоянию осциллятора с частотой
со =?^= 1. Чтобы найти для этого состояния вес cp (p,q), записанный в
фазовом пространстве, заметим прежде всего (обозначив ро>=Та), что в
соответствии с (7.826)
(Р, q\TJp, q) = I (p, q 10И) |2 =
= y (со1/. + со-1/-) exp | - ^(1'+(0) Ip'2 + щ2] |. (8.196)
Далее,
Тф(х, k) ~ exp | -[(1 + co)x2 + (l + co-')?2]j-; (8.197)
нормировочный множитель легко определяется из условия Г и (0, 0) = Sp(pw)
