Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Клаудер Дж. -> "Основы квантовой оптики" -> 85

Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.

Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики — М.: Мир, 1970. — 430 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoyoptiki1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 129 >> Следующая

р = ^ JJlz.XzJpl г2) (г2 \ d22,d2z2. (8.207)
Это выражение есть суперпозиция "внешних произведений различных векторов"
|zi)(z2|. Следует отчетливо
') Смысл этого замечания состоит в следующем. Матрица плотности должна
обладать тремя свойствами (см. гл. 5): 1) эрмито-востью, 2)
нормированностыо и 3) неотрицательностью. Из композиционного закона
(8.203) или (8.204) легко видеть, что свойства
1 и 2 для результирующей матрицы автоматически следуют из тех же свойств
составляющих. В то же время неотрицательность результирующей матрицы
может нарушаться и при выполнении этого свойства для каждой из
составляющих. Иначе говоря, хотя квантовая теория и позволяет весовой
функции принимать отрицательные значения, свойство 3 налагает в этом
случае некоторые ограничения на вид функции ср(г). Как раз эти
ограничения могут не выполняться для произвольных сверток вида (8.2036).
В отличие от этого в классической теории эквивалентом свойства 3 является
простое неравенство ф(г) ^ 0; такое неравенство, очевидно, сохраняется
при композиционном законе (8.2036).- Прим. перев.
2) Показать это легче всего с помощью техники "сокращения", которую
рассматривали Клаудер и Мак-Кепна [7.20]; однако анализ такого подхода
увел бы нас слишком далеко от основной темы.
280
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
понимать, что это два совершенно различных представления одного и того же
оператора; подобная ситуация встречалась уже для случая единичного
оператора [см. (7.62)]. Ясно, что весовая функция в общем
случае обладает значительно лучшим поведением, чем распределение cp(z). В
этой связи Глаубер считает, что в том случае, когда функция cp(z)
сингулярна, представление двойным интегралом предпочтительнее
диагонального представления. Мы считаем, однако, что лучше, как
говорится, заплатить дороже и использовать распределения cp(z) (что было
нами тщательно и точно оговорено). В итоге это оказывается выгодным из-за
значительного упрощения и большой эвристической ценности формул,
получаемых в диагональном представлении. Можно было бы возразить, что
использование последовательностей для определения распределений вносит в
описание дополнительный предельный переход и что такая
последовательность, вообще говоря, не единственна. Хотя такие критические
замечания, безусловно, справедливы, они в равной мере относятся и к
представлению (8.207) с помощью двойного интеграла. Достаточно напомнить,
что лишнее интегрирование само определяется с помощью предельного
перехода и что из-за переполненности когерентных состояний
подынтегральное выражение (а тем самым и последовательность, связанная с
определением интеграла) не единственно.
Б. "Диагональное" представление для поля излучения
Основываясь на приведенных выше рассуждениях, займемся исследованием
диагонального представления для операторов в случае бесконечного числа
степеней свободы; это представление символически может быть записано в
виде
Т = | Ф {{z J) I {zk}) ({zk} | d\i ({zk}). (8.208)
Здесь мы использовали сокращенное обозначение k для индексов моды Я, к и
написали zk вместо z*.(k). Поскольку мы будем применять это диагональное
представление главным образом к матрице плотности, вна-
§ 4. ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
281
чале ограничимся рассмотрением операторов Т с конечной следовой нормой.
Как и при рассмотрении одной степени свободы, постараемся
охарактеризовать Т такой последовательностью операторов с конечной
следовой нормой Тм, для которой IIТ - Т'д/ II1 --"- 0, чтобы соотношение
Sp {ТВ) = lim Sp(7^B) (8.20Э)
М -> °о
выполнялось для всех ограниченных операторов В. Следует отметить, что
записанные в абстрактном виде эти требования в точности совпадают с
соответствующими требованиями в случае одной степени свободы. Грубо
говоря, единственное отличие состоит в том, какое представление
операторов рождения и уничтожения используется. В случае одной степени
свободы принималось, что сами операторы а и а+ образуют неприводимую
систему, тогда как в рассматриваемом случае мы требуем, чтобы весь набор
операторов {afe} и [a?J образовывал неприводимую систему.
Существует, конечно, промежуточный случай, когда можно ограничиться
конечным числом степеней свободы, т. е. когда состояния |zi ..., Zu)
накрывают все гильбертово пространство. Тогда диагональные представления
полностью аналогичны таковым в случае одной степени свободы, за
исключением очевидного увеличения числа рассматриваемых переменных. Мы не
станем обсуждать полное описание случая конечного числа степеней свободы,
поскольку читатель сам без труда сможет должным образом модифицировать
приведенные выше рассуждения. Тем не менее для рассмотрения поля
излучения нам потребуются некоторые из этих обобщений; ниже они будут
приводиться без подробных доказательств.
Подобно тому как это делалось при доказательстве основного разложения
единицы (7.153), определим сначала интегрирование бесконечного порядка с
помощью последовательности, каждый член которой включает лишь конечное
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed