Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Клаудер Дж. -> "Основы квантовой оптики" -> 77

Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.

Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики — М.: Мир, 1970. — 430 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoyoptiki1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 129 >> Следующая

Эти технические трудности исчезают при переходе к пределу L-юо. Чтобы
окончательно определить общие распределения отсчетов и их производящие
функции для Y-детектора, можно считать, что предельный переход L-*oо
включен в соотношения
(8.132) и (8.133),
§ 4. оптическая теорема эквивалентности 255
Основное свойство, благодаря которому распределения отсчетов
асимптотически не зависят от L и тем самым хорошо ведут себя в пределе L
-юо, состоит в том, что поля излучения с конечной полной энергией имеют
вид волновых пакетов. Но сигнал типа волнового пакета может находиться
вблизи реального (конечных размеров!) детектора лишь в течение конечного
интервала времени. Как следствие этого, например, распределение для
одного детектора Р(т,Т + t,t) принимает при Т -> оо свой предельный вид,
определяемый интервалом времени, в течение которого волновой пакет
находится вблизи детектора; оно не растет по величине до бесконечности,
как это имело место для единственной нормальной моды в конечном объеме
квантования.
§ 4. ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
Выше уже говорилось о том, что любую матрицу плотности в определенном
смысле можно представить в "диагональном" виде (8.115) или (8.122).
Полезность такого представления была уже продемонстрирована; так, с его
помощью быстро выводится распределение отсчетов. Действительно, как мы
увидим, это представление оказывается чрезвычайно удобным вычислительным
инструментом в ряде приложений. Чтобы глубже понять диагональное
представление и придать ему точный смысл, особенно удобно начать с
рассмотрения одной степени свободы.
А. "Диагональное" представление для одной степени свободы
Эвристические замечания. Общую проблему, которую мы собираемся
рассмотреть, можно сформулировать так: необходимо представить оператор Т
в диагональном виде
Г= J <p(z)|2> (2|ф. (8.136)
Здесь мы положили d\i = a~]d2z, чтобы включить в запись л-1, и несколько
обобщили соотношение (8.115), чтобы рассматривать более общие операторы,
нежели
256
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
просто матрицу плотности. Основной вопрос состоит в следующем: какие
операторы можно представить в таком виде и каковы соответствующие весовые
функции ф(г)? Ясно, что если z = x + iy, то для функции вида
Ф (г) = лб (z - г0) = л5 (х - х0) 6 (у - у0) (8.137)
получаем, что оператор Т = \z0) {z0\, т. е. представляет собой оператор
проектирования на когерентное состояние. Если ф(г)=1, то мы приходим к
основному разложению единицы (7.48).
Для операторов более общего вида удобно начать следующим образом.
Рассмотрим диагональные матричные элементы по когерентным состояниям
T(z')^{z'\T\z')= J q>(z) <z'|z) {z\z')dp =
= J ф (2) exp (- I z' - z |2) dp,. (8.138)
В гл. 7 мы уже видели, что оператор Т полностью определяется этими
диагональными матричными элементами. Следовательно, если вес ф(г)
удовлетворяет соотношению (8.138), то он автоматически удовлетворяет и
более общему соотношению (8.136). Выражение (8.138) есть интеграл типа
свертки, и это предоставляет нам возможность применять преобразование
Фурье ко всем встречающимся выражениям. С этой целью воспользуемся
формулировкой в фазовом пространстве, чтобы сосредоточить внимание на
действительной и мнимой частях 2. Иными словами, рассмотрим
Т(р', q') - (р', q'\T\p', р') =
= J ф(р, <7) ехр j --^r [ (р' - р)2 + (ф'- ф)2] jсфг, (8.139)
где теперь dp = dp dq/(2nh). Если ввести определения Т (х, k) = J el
(xp~kq)lhT {р, q) dp, (8.140а)
ф (x, k) = j е'[xP~kq>llq>{p, q) dp, (8.1406)
§ 4. ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 257
и заметить, что
ехр [ ~ + k^\ = J е' {xp~kq)'h ехр [ - (р2 + <?2) j dp,
(8.141)
то из теоремы о свертке следует
Т (х, ?) = Ф (х, k) ехр [ - (*2 + *2)] •
Мы видим, таким образом, что
Ф (х, k) = Т (х, k) ехр ^ (х2 + k2)j. (8.142)
Фактически мы пришли к утверждению, что всякий оператор Т имеет
диагональное представление1) с весом <p(z), определяемым как фурье-образ
от Т(х, ?)ехр[(1/2Ь) {х2 + k2)].
Следовательно, чтобы придать смысл соотношению
(8.136), нужно понять, что представляет собой преобразование Фурье
соотношения (8.142). Ясно, что если (8.142) определяет абсолютно
интегрируемую функцию, то фурье-образ хорошо определен, но так будет
отнюдь не всегда. Чтобы глубже понять диагональное представление, нужно
подробнее изучить величину Т (х, k). В этой связи уместно напомнить
некоторые положения теории распределений2), поскольку именно она придает
') Соображения, показывающие исключительную общность диагонального
представления операторов, впервые были высказаны Сударшаном [8.7].
2) Употребляемый авторами термин "distribution" переводится здесь и ниже
как "распределение". В советской математической литературе ему
соответствует термин "обобщенная функция" - см., например, книгу
Гельфанда и Шилова (И. М. Г е л ь ф а и д, Г. Е. Шилов, Обобщенные
функции, вып. 1, М., 1958). Употребление при переводе термина
"распределение" связано еще и с тем, что в том же тексте авторы
Предыдущая << 1 .. 71 72 73 74 75 76 < 77 > 78 79 80 81 82 83 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed