Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
число переменных из всего бесконечного множества. Для этого вспомним
операторы проектирования
282 ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Р N [см. (7.148)], которые определяются следующим образом:
<ы I pn \ "}>=ехр I - -1Ё (I2+1z* г)+Ъ I •
1 к=1 *=I J
(8.210)
Действие оператора Рх сводится к проектированию на основное состояние для
всех степеней свободы с k > N. Вооружившись этими операторами
проектирования, определим последовательность операторов с конечной
следовой нормой соотношением
TN = PNTPN (8.211)
для всех N. Покажем прежде всего, что операторы TN
при N-* оо сходятся к Г по следовой норме.
Воспользовавшись соотношением HBPIIi < IIЛЫ1ВЦ, выполняющимся для
произвольного оператора Т с конечной следовой нормой и произвольного
ограниченного оператора В, получим
il TN - Г Hi = II РмТРх ~ Г II,
<||РЛ,(7'Рд,-7) ||, + || (PN - /) Т ||i <
<11 Т (PN-l) II, +|| {PN-I)T И,, (8.212)
так как ||Р]у|1<1. Рассмотрим второй член в (8.212);
первый член полностью аналогичен ему. Если Т = АС, где как А, так и С -
операторы Гильберта-Шмидта, то из (8.163) имеем
|| (PN - I) AC II, < II (PN - /) А ||2 • || С ||2. (8.213)
Используя запись А в общем виде
оо
А = 2 а,-1IXj) (ф/1, (8.214)
где |pj) и |фД-векторы двух полных ортонормироваш
ных базисов и [ср. (8.164)]
оо
IMIIj^ 2|а;Р< ОО, (8.215)
/=1
§ 4. оптическая теорема эквивалентности
283
получаем
оо
|| (PN - /) А ||| = 2 I а, |2 <|Х;- | (/ - Р") I цу>. (8.216)
/=*
Сопоставляя этот результат и условие (8.215) со сходимостью матричного
элемента общего вида (/.[/Vlil)) -*¦ ->(Л}ф) [ср. (7.152)], с
очевидностью получаем, что для достаточно больших N величина (8.216)
может быть сделана сколь угодно малой. Поскольку те же рассуждения
приложимы и к первому члену в (8.212), то отсюда вытекает
II TN - Т ||, = || PNTPN-T\\x^0.
(8.217)
Таким образом, последовательность TN сходится к Г по следовой норме, что
и требовалось доказать.
Покажем, далее, что для оператора TN фактически существенны лишь первые N
степеней свободы. Для этого заметим, что соотношение
PNT"PN = PN (PNTPN) PN = PNTPN = TN (8.218) в непрерывном представлении
записывается в виде
<ы I pv | и> -1 j' <х) I г* I гахга 1 | (*п>х
х <КД РЩХ)ЖК)ЖК"11 (8-2151>
где каждый из интегралов определен в смысле (7.152). Не нужно явно
вычислять такой интеграл, чтобы понять, что (8.210) влечет за собой
соотношение
7{z,}|rv|{2;)) = exp
ехр
т 2 (!z*i
k = N +1 TN\
X({2
1412) X) = К I2)
x
x
"k, N
})¦
(8.220)
Здесь {z/г, д-J обозначает усеченную последовательность (z/j, jv = 0 при
k > N), подробно обсуждавшуюся в связи
284
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
с (7.1-39). Таким образом, как и предполагалось, в 7'Л' фактически входят
лишь первые N степеней свободы.
В диагональном представлении оператор TN будет, очевидно, иметь
характерный вид
TN = J ф* ({zfe, Л-}) ] {zk, Л-)) ({2;е, Л.} | d\x ({zk, ,v}). (8.221)
Здесь интегрирование проводится лишь по конечному числу (2N) переменных.
Совершенно ясно, что это выражение удовлетворяет условию РNTN = TNPN =
TN, необходимому для выполнения соотношения (8.220). Из этого свойства
оператора TN следует, что диагональные матричные элементы по когерентным
состояниям, комплексные амплитуды которых образуют усеченную
последовательность, удовлетворяют соотношению
<Ka}i^iKa)) = ^v(K,a})-
= | фv (К д-})I (К а) ! К м}> ГdP (К, а})- (8-222)
Это соотношение есть просто аналог основного уравнения свертки (8.138)
для случая N степеней свободы. С этого соотношения должен был бы
начинаться анализ диагонального представления для N степеней свободы. С
помощью вычислений, аналогичных проведенным выше, можно показать, что
непрерывные функции Ф^лгь ..., хл-; k\, ..., kN), являющиеся фурье-
образа-ми функций ({zft, jv}) , представляют собой распределения на
пробных функциях из Фщ. Исходя из аналогии с рассуждениями, с помощью
которых было получено соотношение (8.169), мы утверждаем, что каждое из
требуемых распределений можно представить последовательностью пробных
функций Ф^(х,, . . ., хдг; /г,, . . ., kN) из ^2.v (т. е. бесконечно
дифференцируемых и быстро убывающих) и что операторы
= J ({zfe| л-}) | [zk, а})({2*, a} \dP (I2*, а}) (8.223)
определены с помощью функций ^}), каждая
из которых принадлежит P^.v- Более того, можно утверждать, что для любого
N
§ 4. оптическая теорема эквивалентности 285
при L -*¦ оо. Отсюда следует, что двойная последовательность операторов
Т%, заданная соотношением (8.223), удовлетворяет условию
lim lim \т - Tl I = 0 (8.225)
Дг ОО L-> оо
в силу неравенства
II 7'Л11<117'- TN\[ +||rv-7i||,. (8.226)
Чтобы довести наши рассуждения до конца, заметим, что из
последовательности с двумя индексами всегда можно выбрать
подпоследовательность с одним индексом, сходящуюся к тому же пределу.
Например, для любого заданного N выберем L = L[N] как такое наименьшее
целое число, для которого
IIrV - TL II, <\\T-TN\\i+-jf' (8.227)
Ясно, что при таком выборе последовательность, определяемая соотношением
