Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Фк (fo, к" = П ехр (~ 1$)) (9'38)
300 гл. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
в качестве усеченного диагонального веса для К степеней свободы и
определить
р = Пт Рк = Пт Г фА. ({гкш К}) | {zk, к)) <{z*. *} I ф ({г*. *})
К->°°
(9.39)
как матрицу плотности для хаотического поля. Однако при такой процедуре,
как было отмечено в гл. 5, нельзя ожидать, что всякая последовательность
средних чисел заполнения (Nk) определяет истинную матрицу плотности р.
Для выбора подходящих последовательностей необходимо иметь в виду, что в
соответствии с (9.37)
<{Zfe}lpl{zft})= lim ({zk, K}\pK\{zk, к}) =
/с-"°о
оо
= П 1 + <jv*> ехр[" i + (ift)]- (9-4°)
Очевидно,
оо
(Ы !р 1Ы> < (0 |р | 0> = Л (9.41)
1
Если это бесконечное произведение сходится к нулю, то все диагональные
элементы р для когерентного состояния обращаются в нуль и, следовательно,
обращается в нуль и сама матрица плотности р. Поскольку это заведомо
нежелательно, многократное произведение должно сходиться к некоторому не
равному нулю числу. Это имеет место при
оо
2 (Nk) < оо, (9.42)
й=1
что можно вывести из замечаний, сделанных в связи с (5.95).
При выполнении условия (9.42) для последовательностей (Nh) не
только р является истинной матрицей
плотности, но, более того, в (9.39) имеет место сходимость по следовой
норме ||р - pjcllх -*0. Из этого, в ча-
1. ХАОТИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ СОСТОЯНИЯ
301
стности, следует, что для любого ограниченного оператора
(В) = Sp (рВ) = lim Sp(p*B) = к->°°
= lim Г ф* ({zk. *}) ({zki к) | В | {zk, K}) rfp, ({zft, *}). (9.43)
k-"°° J
В частности, в соответствии с (8.236) и (9.35) нормально упорядоченная
производящая функция ({"&}) записывается в виде
MK}) = SP РехР
оо оо
ехр -
= ехр - "J2 .
(9.44)
Если ввести оператор
Jf = S ukafk,
k-i
(9.45)
то оказывается, что (9.44) имеет довольно простую структуру
<yV') = e-('+/>. (9.46)
Эта формула особенно удобна, так как позволяет сразу найти результат для
оператора
/f = J S (г, t) • А( ) (г, t) dAx,
(9.47)
который в силу уравнений свободного поля является оператором типа (9.45).
При этом нормально упорядоченный производящий функционал для поперечного
потенциала принимает вид
C"{S} = <e'V') = e-<'+'>
= ехр | - 2 J S, (г, t) Gjk (г, t; г', t') S* (г', /') d4x d4x'},
(9.48)
где 4=1, 2, 3 и
Gjk (г, t\ г, t') <Л/_) (г, t) Л(*+) (/, t')) (9.49)
302 гл. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
является корреляционной функцией второго порядка. Следует еще раз
отметить, что в настоящих примерах распределение полностью определяется
корреляционной функцией второго порядка.
Из (7.179а) вытекает, что эти выражения, используя нормальные моды поля
излучения, можно записать в виде
Gjk{г, t\ г', С) =
= 77 X 7, '~,о/Г (ехР I1' (к' • х' - к • х) - i (со't' - at)] X L мс 2
(оКй>
Х(а}(к)а,(к/))}. (9.50)
Входящая сюда сумма для произвольно больших объемов
квантования переходит в интеграл
v _> (L/2л)3 J d*k
. k
Glk (г, t; г', С) = L -д- f Г d3kd:ik'- -- {• • •}
' (2л) J ¦> 2 (coo/) J
(9.51)
где выражение в фигурных скобках совпадает с входящим в (9.50). Если
ввести функцию
S (k, v) = J] ея (к) (к, v) = (2л)_% | rik-x+'wS (х, 0 rf'jc,
я (9.52)
то можно написать
CHS} = ехр {--^г2 ] j^^S\(k,v)(ai(k)ah,(k'))X X §1(к', v')d3kd3k'j.
(9.53)
Очевидно, только поперечные компоненты S(k, v) вносят вклад в (9.53), и
мы далее будем считать поле S чисто поперечным. Эти соотношения применимы
в общем случае; при этом не обязательно, чтобы состояние было
стационарным или однородным и изотропным в пространстве и т. д.
Однако в тех случаях, когда состояние можно считать стационарным,
однородным и изотропным, соотношение
§ 1. ХАОТИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ СОСТОЯНИЯ
303
(9.53) существенно упрощается. При этих условиях имеем
-^Г <4 (к) ^ (к'))" б (к - к') N (V), (9.54)
где
^(4 = (4(к)а^(к)) (9.55)
для любой поляризации X и значения к, удовлетворяющего соотношению 1 к |
= со = 2tcv. Используя эти свойства, находим, что
C/v {S} = ехр j - J ^|S(k, v)| 2N(v)d3k}. (9.56)
Ограничимся в дальнейшем более узким классом пробных функций, пригодных
для описания детектора, локализованного в точке R и чувствительного к
фотонам произвольной поляризации. В частности, ограничимся пробными
функциями вида
S (k, v) ^ (2пУ% е, (к) etk'R S (v). (9.57)
В этом случае CN становится независимым от к, R и X. Таким образом, мы
можем рассматривать CN как функционал, зависящий от S(v). Производя
подстановку d3k -> 4nk2dk, k = 2nv и полагая
Г (v) = hvN (v),
легко получаем
!оо
- J I S (v) р Г (v) dv
о
Это интегральное выражение становится точным при стремлении объема к
бесконечности.
Полученное соотношение выражает существенное свойство важного класса
состояний. Подчеркнем, что проведенное выше рассмотрение хаотических
полей приводит к гауссовым случайным процессам, однако при этом дисперсия
остается неопределенной. Даже в стационарном однородном и изотропном
случае, в котором
(9.58)
(9.59)
304 ГЛ. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
