Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
конечной области пространства х, k ¦). Это очевидно, поскольку интеграл
J ф(х, k)f{x, k)d\i (8.150)
(где da = dxdk/2nb) хорошо определен для всех таких j(x,k). В связи с
диагональным представлением опера-тороз с конечным следом для нас
наиболее интересны фурье-образы таких функций. В общем случае такой
фурье-образ является распределением, а не функцией.
Чтобы придать смысл такому фурье-образу в общем случае, воспользуемся
представлением с помощью последовательностей. Именно, введем функции
фуиОч k), которые стремятся (в некотором смысле) к ф (х, fe) при М -*•
оо; кроме того, предположим, что у каждой из этих функций существует
фурье-образ cpM(p,q)-функция с хорошим поведением. Иными словами, с
помощью весовых функций фu{p,q) мы определяем последовательность
операторов
тм= /Мр> q)\р, q)(p. q\dp, (8.151)
стремящуюся к заданному оператору Т. Если бы нас интересовали только
матричные элементы общего вида (>.|Т|ф), то было бы достаточно построить
такую последовательность 7л/., чтобы для всех |Я) и |ф)
lim (Я 17Л I ф) = (Я | 7 | ф). (8.152)
М-" ОО
В действительности, однако, нам требуется значительно более сильное
ограничение, поскольку мы хотим вычислять следы различных выражений,
содержащих матрицу плотности.
Те операторы, средние значения которых нужны нам для нахождения
распределений отсчетов, являются в действительности ограниченными
операторами. Средние
') Хотя этот результат нам и не понадобится, отметим, что если Т - любой
ограниченный оператор пли полином по и а, то ср(х, к) всегда является
распределением на &)2, хотя и не обязательно задается функцией.
264
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
значения ограниченных операторов определены для каждого состояния
системы, и с общей квантовомеханической точки зрения они составляют
максимальный общий класс наблюдаемых физических величин. В самом деле,
такой класс содержит унитарный оператор, определяющий характеристическую
функцию Сь (s) = Sp(pe'sfi) для распределения любой мыслимой наблюдаемой.
Если нас интересует представление матрицы плотности с помощью
последовательности, то для того, чтобы такая последовательность имела
практическую ценность, она должна допускать прямое вычисление среднего
значения каждого ограниченного оператора. Иначе говоря, мы хотели бы,
чтобы для каждого ограниченного оператора В выполнялось соотношение
Sp {ТВ)= lim Sp {ТМВ), (8.153)
а это значительно более сильное ограничение, нежели (8.152).
Чтобы дать практически более удобную формулировку этого требования,
рассмотрим последовательность операторов с конечной следовой нормой,
определяемую равенством
оо
Ум^т~тм^ S у\м) | Цм)) <ФГ |, (8.154)
где последнее соотношение является следствием канонической формы (5.18).
Тогда, очевидно, для всякого ограниченного оператора В имеем
оо
I SP(V*)|" 2 иг I • |<чГ | ВI Д'"> I <
СО
(8Л55)
Следовательно, если операторы Тм_ сходятся к Г по так называемой
"следовой норме", а именно так, что
II Г-Гл Hi- 0 (8.156)
при М -> оо, то для каждого ограниченного оператора
будет обеспечено выполнение формулы (8.153) для
средних значений, к чему мы и стремились.
§ 4. оптическая теорема эквивалентности 265
Нетрудно придумать последовательности операторов Ты, которые просто
сходились бы к Т. Для этого достаточно заменить ф (х, к)
последовательностью функций фм{х, к), которые стремятся к ф(х, k). Суть
проблемы состоит в отыскании такой последовательности, для которой
выполнялось бы условие (8.156). Имеется два доказательства существования
таких последовательностей1). Мы не будем повторять целиком ни одно из
них, а наметим в общих чертах метод, принадлежащий Рок-ка [8.10],
поскольку это проливает свет на некоторые интересные аспекты задачи.
Нам понадобятся некоторые дополнительные свойства; приведем их в основном
без доказательств и лишь покажем, что эти свойства вполне правдоподобны.
Из (7.8), (7.88) и (8.140) следует, что
(р, q | Т | р, q) = [г (х, к) е1 dp =
= J Т {х, к) (р, q | : U [к, х]:\р, q) dp. (8.157)
Поскольку диагональные элементы однозначно определяют Т, получаем
Т = J Т (х, k); U [k, х] : dp = j t{x, k)U [k, x] dp, (8.158) где
i (x' k) = (0\TU[k,%\0) =t(x,k)ex p (x2 + fe2)] .(8.159)
Следует отметить, что t(x,k) является "весовой функцией Вейля" в
известном вейлевском представлении операторов, Если перемножить два
оператора, записанных в этом представлении, то в силу правил коммутации
АВ = J а (х, k) b (х', к') U [к, х] U [k', х'] dp dp' =
= J а {х, к) b (х', к') ехр {kx' - xk') j X
X U [к + к', х + х'] dp dp' = | (а * b) (х, k) U [к, х] dp,
(8.160)
Ч Главный результат, о котором ниже будет идти речь, получили независимо
Клаудер [8.9] и Рокка [8.10].
266
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
где величина (а * Ь) (а, к) =
= j а(х - х', k - k')b{x', fe')expj'~(kx' - xk')jdn' (8.161)
носит название "свертки с умножением" (twisted convolution product).
Из классического анализа известно, что всякая функция т(а) из L1 дается
произведением двух функций а{х) и |3(а) из L2, а именно х{х) = а(х)|3(А).
