Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
настоящего параграфа, но пока мы только коснулись вопроса о его
фундаментальной роли. По-прежнему будем считать, что распределение г
одинаково для всех вкладов z", так что соотношение (9.8) остается в силе.
Как и раньше, будем полагать, что функция г дважды дифференцируема в
начале координат, а ее первые производные обращаются там в нуль,
§ 1. ХАОТИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ СОСТОЯНИЯ 293
но теперь для малых х и k заменим соотношение (9.9) выражением с
квадратичным членом общего вида
r(x, k) " 1 ~-~{Bx2 + 2Cxk + Dk2). (9.14)
Повторяя вывод, приведенный выше, получаем для произвольно больших N
ф(х, k) - ехр [- (Вх2 + 2Cxk + Dk2)j, (9.15)
что справедливо при всех х и k. Однако в отличие от соотношения (9.10)
теперь нельзя утверждать, что квадратичная форма в экспоненте обязательно
положительна. Иными словами, ф может возрастать в некоторых направлениях
[естественно, в согласии с (9.6)]. Действительно, легко привести примеры
диагональных распределений r(x,k) (являющихся пробными функциями в 5^2),
Для которых результирующее "тепловое" распределение (9.15)
характеризуется отрицательным значением В. Это объясняется тем, что
функция ф(х, k) в конечном счете чувствительна к поведению r(x, k) только
вблизи начала координат и возможен случай, когда r(x,k) при возрастании х
сначала, скажем, достигает значения больше единицы, а затем быстро падает
до нуля.
Нужно подчеркнуть, что, несмотря на такое странное поведение,
результирующие распределения получаются строго тепловыми! Положим сначала
С = 0, поскольку в этом простейшем случае сохраняются нужные свойства.
Соответственно для достаточно малых х и k примем
г (х, k) ~ 1 - -щ- (Вх2 + Dk2). (9.16)
Для некоторой матрицы плотности ро имеем теперь [ср. (8.169) и (8.178)]
SP {Ро?7+ [k, х]} = г (х, k) ехр [ - "фй (х2 + fe2)] "
~1-^[(в+т)*'+(й+т)'Ф (9-17)
294 гл. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
последнее выражение справедливо для достаточно малых х и k. Применяя к
(9.17) принцип неопределенности, получаем
<P2XQ2> = S2(b + })(d+ ' )>\h\ (9.18)
Поскольку каждый сомножитель положителен, имеем
? + {>0, D + \> 0 и [в + \)[0 + \)>\. (9.19)
Если В = D, то В > 0; но если В Ф D, то либо В, либо D может быть
отрицательным (например, В = -1/8, D - 2). Если положить
Ь = \+2В и d = I + 2D, (9.20)
то
Ь> 0, d> 0 и 1. (9.21)
Далее, из (8.169) и (8.178) в общем случае следует
ф (х, k) = Sp {р?Д [k, х]} ехр (х2 + ?2)] , (9.22)
где ф - весовая функция, связанная с матрицей плотности р. В нашем случае
мы приходим с помощью (9.15) и (9.20) к точному соотношению
Sp {рС/+ [k, х]} = ехр [ --щ- (bx2 + dk2)j. (9.23)
Вышеприведенные условия для bud, как легко показать, означают, что р есть
истинная матрица плотности, описываемая выражением
е-Р'Ж'
Р = Spe-Р'^' ' (9,24)
Здесь "гамильтониан"
Ж'= j{P2 + (r)'2Q2-h(r)') = tia'N', (9.25)
"угловая частота"
Ь у/а
§ 1. ХАОТИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ СОСТОЯНИЯ 295
а "обратная температура" определяется из соотношения [ср. (5.56)]
= = (9.27)
Если b = d (т. е. В = D), то мы получаем определенные тепловые
распределения, описываемые соотношением (9.10) при A=(N'). Когда b ф d,
получаются другие тепловые распределения. С таким случаем мы сталкивались
ранее [см. (8.198)], где имели b = со и d = со-1. Так как при этом BD = -
(4co)_1 (1 - со)2 0, то значение либо 13, либо D должно быть
отрицательным, если В этом примере, очевидно, со' = со и |3' = оо, т. е.
р' соответствует вырожденному тепловому ансамблю при нулевой
"температуре" и является как раз оператором проектирования на основное
состояние гамильтониана Ж, что соответствует примеру, приведенному для
иллюстрации соотношения (8.198).
Совершенно аналогичные выводы справедливы, если множитель С в (9.15)
отличен от нуля. В этом случае соответствующий осцилляторный гамильтониан
Ж содержал бы произведения Р и Q.
В результате мы видим, что при очень общих условиях (по существу
достаточна двойная дифференцируемость г, или, что эквивалентно,
существование первых двух моментов г) квантовомеханическая матрица
плотности для бесконечного числа подобным образом распределенных вкладов
строго соответствует тепловому распределению.
Тот странный факт, что В или D могут принимать отрицательные значения,
вовсе не указывает на ошибку в наших рассуждениях. Появление
отрицательных В и D означает, что мы разложили матрицу плотности для
рассматриваемого хаотического источника в ряд не по наиболее
"благоприятным" когерентным состояниям. Например, если бы мы снова
разложили состояние ра в (8.198) по когерентным состояниям для частоты
to, то получили бы ф(х,к) = 1. Этот результат имеет более ясный смысл,
чем другой, возрастающий экспоненциально. Вообще, применяя произвольные
линейные преобразования операторов Р и Q, согласующиеся с соотношением
296 гл. 9. КОНКРЕТНЫЕ состояния ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
[Q, Р] = ib, и используя соответствующие когерентные состояния, мы можем
перевести все тепловые весовые функции вида (9.15) в основную гауссову
