Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Предыдущее условие представляется также правдоподобным в силу хорошего
поведения подынтегрального выражения (аналитического в верхней половине
плоскости у). Очевидно, результирующее распределение удовлетворяет
условию нормировки (9.104). При m 1 для всех практических целей можно
взять в качестве распределения фотоотсчетов
Р(т, Г), (9.107)
где р(х,Т) определяется соотношением (9.106).
Приведем два примера для иллюстрации предыдущих соотношений, выведенных
для значений Т, превышающих время когерентности. Предположим сначала, что
спектр f(v) имеет прямоугольную форму, т. е. равен постоянной величине Ь
в некотором интервале положительных частот у. С помощью (9.94) можно
связать ah со средним числом отсчетов:
m = аТ | Г (v) dv = aTby.
Введем также среднюю скорость счета w = m/T. Следовательно, параметр
и w
а Ь = - = р
у
выражается через измеримые величины. Вооруженные этими определениями, мы
можем написать Q(K, 7) = е-^1п[1+ад=е-(т/в)1п[1+ад = (1
(9.108)
Так как
__________ Q2
m{m- 1 ) = Т) |*=0 = m (ц + m),
дисперсия отсчетов равна
ст2 = (Am)2 = m (1 + р) - m ^ 1 + j. (9.109)
Сравнивая с (3.40), получаем, что время когерентности [ср. (3.38)]
оо
g(oo) = 2 J | y(r)\2dx (9.110)
о
§ 1. ХАОТИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ СОСТОЯНИЯ 317
в настоящем случае равно у-1. Непосредственным разложением по теореме
биномов находим
р(т J) - (1 (__И \т Г (m + m/ц)
ml \ 1 + ц / Г (тп/ц)
т
Ы"П(^-ф
(1 +ц)~д/|*
/п! \ 1 +¦
р=1
Если р = т, то Р{т,Т) есть распределение Бозе - Эйнштейна
Я(и,Л-(1 +ц)- (-лы)".
Соотношение (9.106) можно использовать для нахождения подходящей гладкой
функции, определяющей распределение при m^> 1. В настоящем случае имеем
р(х, Г) = (2я)~' J ехр j - iyx - In [l - iy ^-]|d// =
= (2я)-1 J [l - iy e~iyx dy =
(9Л12а)
Следовательно, из (9.107)
Р(т, [Г (^-)]_I е-"* (9.1126)
В качестве второго примера, физически, по-видимому, более интересного,
возьмем спектр, имеющий лоренцев-скую форму
(CD_COo)2 + Y2 > (9.113)
где coo 7?> у- Постоянная аЬ' связана со средним числом отсчетов
соотношением
т = wT = аТ J Г (v) dv =
1 а ТЬ'
2 у '
318 ГЛ. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
в котором мы нижний предел интегрирования заменили на -со. Отсюда ab' =
2w\, так что можно положить
Q()" Т) = ехр { - (2л) ~ Г Jctolnfl + } •
(9.114)
С помощью интеграла общего вида
оо
I In dx = 2 я (а - 6)
- оо
соотношение (9.114) можно представить следующим образом:
Q(7, Т) - ехр{- Т [(у2 + 2kwy)':i - у]}. (9.115а)
Это соотношение впервые было получено Гренандером, Поллаком и Слепяном
[9.2], а затем заново выведено Глаубером [8.2] в связи с задачами
квантовой оптики. Введем опять величину р = w/у; тогда
Q(k, Т) - ехр { - 'ур [(1 + 27р)"2 - 1] |. (9.1156)
Для линии с лоренцевской формой |у(т)| = = ехр(-у | т!), поэтому в данном
примере время когерентности
оо оо
|(оо) = 2 J |у(т)|2Л = 2 J e~2YTfi?T = у-1. (9.116)
о о
Таким образом, дисперсия отсчетов опять определяется соотношением
(9.109), Распределение отсчетов, вытекающее из (9.115), является довольно
сложным, и мы только приведем результат, полученный Глаубером [8.1]:
Р(пг, Т) = ^(^)',2(-^)тКт",г(ЯТ)ечг. (9.117)
Здесь мы ввели обозначение
Q == (у2 + 2wy)'k,
a Km-'k - модифицированная функция Ганкеля полуде-лого порядка.
§ 1. ХАОТИЧЕСКИЕ II ТЕПЛОВЫЕ СОСТОЯНИЯ
319
По сравнению с выражением (9.117) более простой и наглядной является
асимптотическая форма для гладкой функции р(х, Т), характеризующей это
распределение при больших пг. Из (9.106) вытекает соотношение
р(х, Г) =
- (2л)-1 j ехр | - iijx - Т j г/v In [ 1 - im^hjoX (v)] j dij -
= (2л)-1 j exp | - iyx ~ [(1 ~ 2/y -j~-j - 1 ] | dy, (9.118)
что является табличным преобразованием Фурье. Отсюда получаем выражение
1 уп
(9.119а)
которое было выведено Гренандером, Поллаком и Сле-пяном [9.2].
Следовательно, с помощью (9.107) находим
Р (m- = /п m ехР Г - ~ (Vm - ТР=-)21
(2ящп3)/2 2ji V У m I
(9.1196)
что было получено Глаубером [9.3] как асимптотическая форма выражения
(9.117).
Эксперименты по счету фотонов для излучения тепловых источников были
выполнены Фридом и Хаусом
[9.4]; результаты приведены на фиг. 4. Данные Фрида и Хауса
сопоставлялись с некоторыми теоретическими формулами. Наилучшее
совпадение имело место с рассчитанной Баракатом и Глаубером [9.5] для
лоренцевского спектра формулой, вытекающей из точного соотношения
(9.87). Время счета в этих экспериментах слишком мало, чтобы можно было
применить соотношение (9.117) или (9.1196).
Выведенные нами выражения для распределения отсчетов и их производящих
функций справедливы не только для рассмотренного нами случая точечного
детектора. Например, Глаубер показал, что аналогичные выражения
справедливы для плоскополяризованной волны, падающей на тонкий плоский
детектор. Если детектор имеет более сложную структуру или если в течение
времени Т поле нельзя считать стационарным, то выражения имеют
значительно более сложную форму. В любом
320 ГЛ. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
