Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
представить как функцию его среднего значения и дисперсии,
воспользовавшись соотношениями
m = аГ ((N) + \ zQ |2), (9.145а)
02 = (Ш)2 = m + а2Т2 {N) [2| z012 + (N)]. (9.1456)
332 ГЛ. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Фрид и Хаус [9.4], а также Мейджил и Сони [9.10] провели эксперименты по
фотостатистике с использованием гелий-неонового лазера, работающего в
режиме, близком к порогу генерации; полученные результаты сравнивались с
приведенными выше выражениями (фиг. 5 и 6). Обе группы получили
удовлетворительное согласие с распределением (9.144). Кроме того, в тех
случаях, когда время наблюдения Т удовлетворяло условию aT{N)'>r\, но
было достаточно малым по сравнению с временем когерентности [чтобы
выполнялось соотношение (9.142)], были обнаружены измеримые отклонения от
статистики Пуассона. В экспериментах Мейд-жила и Сони время изменялось в
пределах 10~4 сек ^
Т <; 104 сек. При Т .< 10~4 сск наблюдаемые распределения следуют закону
Пуассона, в то время как при Т Ю"1 сек результаты не согласуются с
(9.144). Согласно оценке авторов, в их экспериментах величина (yV)/|z0|2
составляла около 5- 10~5.
| 3. ОПИСАНИЕ ЛАЗЕРА С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛИ СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ
Ряд авторов в качестве модели лазера рассматривали совокупность
взаимодействующих идеализированных систем. Подробное изучение таких
моделей проводили Лэкс [9.11], Скали и Лэмб [9.14], Хакен [9.12], Зауер-
ман [9.13] и другие авторы. Модели, для которых можно получить решение,
были рассмотрены Шваблом и Тир-рингом [9.15]. Несколько упрощенных
динамических моделей для различного рода систем обсуждаются в последней
главе книги Луиселла [7.2].
Мы не сможем уделить здесь достаточно внимания всем этим работам, а
остановимся лишь на одной фундаментальной модели. Эта модель не только
представляет интерес сама по себе, но и позволяет обратить внимание
читателя на общее свойство подобных задач, которое, как нам кажется,
недостаточно освещено в имеющейся литературе. Это свойство заслуживает
изучения не только в связи со статистической теорией лазеров, но и в
связи с другими задачами квантовой статистики.
§ 3. ОПИСАНИЕ ЛАЗЕРА
333
Прежде чем переходить к непосредственному обсуждению, сформулируем в
общем виде суть наших замечаний. Б тех случаях, когда рассматриваемая
задача является существенно марковской даже при наличии взаимодействия с
"резервуаром", можно написать для полной матрицы плотности уравнение
первого порядка по времени. Если матрицу плотности в диагональном
представлении выразить с помощью веса <р = ф(/), то тогда можно искать
уравнение первого порядка, описывающее изменение во времени функции ф. В
той степени, в какой ф ведет себя как классическое распределение, такое
уравнение первого порядка, согласно гл. 4, соответствует стохастическому
уравнению (или, как его часто называют, обобщенному уравнению Фоккера -
Планка). Мы видели в гл. 8, что диагональные веса ф часто представляют
собой распределения, а не "добрые старые" плотности вероятности
классического типа. Это свойство может привести к необычному виду
стохастических уравнений, в которых отдельные коэффициенты диффузии могут
оказаться отрицательными. Может также оказаться, что матрица диффузии в
диффузионном приближении [которое получается, например, если в сумме в
(4.46) ограничиться членами с п^2] не положительна. Такое поведение
характерно не только для лазера, но имеет место в очень простых моделях;
можно полагать, что оно является довольно общим. По нашему мнению, такие
стохастические уравнения представляют самостоятельный интерес, особенно
потому, что они являются весьма удобным уравнением для с-числа.
А. Модель лазера
Модель, которую мы кратко рассмотрим ниже, изучали несколько авторов, в
особенности Лэкс [9.11]. В этой модели предполагается наличие одной
существенной моды поля излучения, описываемой оператором уничтожения Ь.
Предполагается также наличие N(N^>1) трехуровневых атомов, описываемых
операторами уничтожения apm, j = 0, 1, 2, m = 1, ..., N. Рассматривается
только взаимодействие этих атомов с полем, но не друг с другом. Как поле,
так и атомы испытывают
334 ГЛ. 9 КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
воздействие со стороны индивидуальных "резервуаров", имитирующих действие
других мод излучения, фононов в стенках резонатора, накачки и т. д.
В шредингеровском представлении матрица плотности для комбинированной
системы, включающей поле и атомы, удовлетворяет уравнению движения
р = - -j-1(2%а + ^ь)> р] + В [{Mb' - Mfb), pj +
N 2
m= I i, j = 0
-T(a/ma/m)p-TP"a/m)}-- -¦ {[nbbf + (n + 1) Ь"Ь\ p + p [hbb + (it + 1)
bfb\} +
+ у [(h + I) bpby + tibfpb}. (9.146)
В этом уравнении
Жь = ЬьаьЬтЬ, Жа = 2 &ia]ma!m (9.147)
m, j
- гамильтонианы соответственно для свободного излучения и для свободных
атомов (щ - энергия /-го атомного уровня). Член
ihp{Mbf - Mfb) (9.148)
описывает основное взаимодействие между полем и поляризацией
N
М = 2 atmci2m, (9.149)
m~ 1
интенсивность которого определяется величиной р. (грубо говоря, атомным
