Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
дипольным моментом). Нужно иметь в виду, что члены вида Mb и Mf Ь1,
строго говоря, тоже являются членами взаимодействия, но для
квазимонохроматического излучения они далеки от резонанса и ими в
приближении "волн вращающейся поляризации" можно пренебречь [см.
обсуждение в связи с соотношением (6.65)].
§ 3. ОПИСАНИЕ ЛАЗЕРА
335
Модель лазера будет полной, если учесть эффекты, связанные с наличием
резервуаров. Эти эффекты описываются оставшимися членами в (9.146).
Первые из этих членов соответствуют переходам с уровня i на уровень /,
вызываемым взаимодействием с резервуаром и характеризуемым вероятностью
Wij. Отрицательные члены этого типа уменьшают заселенность уровня / за
счет перехода на уровень i и, как можно показать, обусловливают затухание
атомной поляризации. Наконец, у - коэффициент затухания поля. В
представлении чисел заполнения для мод поля можно получить следующий
результат: отрицательные члены дают затухание рнт, пропорциональное рпт,
в то время как положительные члены дают увеличение рпт,, пропорциональное
pn+i,in+i и pn-i,m-i- Параметр h есть среднее число фотонов при
равновесии с резервуаром. Дальнейшее обсуждение и обоснование настоящей
модели можно найти в статьях Лэкса, особенно в статье [9.11].
Интересный подход к этим уравнениям был развит Гордоном [9.16]. В его
методе используется диагональное представление для полевой моды и
аналогичное представление для атомной системы. Поскольку все атомы можно
рассматривать одинаковым образом, общее воздействие на атомную систему
можно описать с помощью четырех макроскопических параметров. Примем
°т ~ N [(jV - Л J - Ж2) аотаот ^ 1а\та1т
+ + Л а1таш + ^*аыа2т] (9.150)
в качестве элементарной матрицы плотности для т-то атома и
N
°а = 1\от (9.151)
т~]
в качестве канонической матрицы плотности для N атомов. Каждая
элементарная матрица плотности описывается одними и теми же параметрами
Jfu Жъ Ж и Ж*, которые для краткости будем обозначать k - 1, 2, 3, 4.
Используя каноническую матрицу плотности
336 гл. Я. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
(9.151) и диагональное представление для полевой моды, Гордон приходит к
рассмотрению величины
pit) = J <p(z, t)a{z, 3?k)d\i{z, %k), (9.152)
где
a (z, ^ft) = | z) (z \ aa (9.153a)
и
d\i (z, 3Bk) = du (z) =
s= n~xd (Re z) d (Im z) dXx dX*d (Re J() d{\m Jl). (9.1536)
Выражение (9.152) представляет собой разумное обобщение понятия
диагональных представлений, позволяющее включить в рассмотрение атомные
переменные данной модели.
Приведенная матрица плотности только для одной моды поля излучения равна
частичному следу по атомным матрицам плотности. В свою очередь каждая из
них определяется так, что
2
Spm от = У. </m 1 0т | jm) = 1. (9.154)
1 = 0
Здесь I/т) = | 0) - одночастичное состояние, озна-
чающее, что атом т находится на уровне Эти состояния удовлетворяют
соотношению
а)'та\т I 1'т) = б;Т I 1"т)' 155)
Очевидно, приведенная матрица плотности для одной полевой моды b
принимает вид
Рь it) = J ф (z> %k, t) I z) (z | d\i (z, %k) =
= jcp(z, t)\z)(z\dniz), (9.156)
где
<p(z, t)= f <p(z, 9Sk, t)dWk. (9.157)
§ 3. ОПИСАНИЕ ЛАЗЕРА
337
Соотношение (9.157) определяет диагональный вес, что представляет интерес
в тех случаях, когда рассматривается только мода поля излучения.
Основное уравнение (9.146) для матрицы плотности можно преобразовать в
уравнение движения для веса ср (z,96b.,i). Такое уравнение, очевидно,
линейно по весу ф и состоит из суммы членов, соответствующих слагаемым в
уравнении (9.146). Чтобы получить это уравнение, необходимо поступать
следующим образом: 1) сначала выполнить каждое действие в правой части
(9.146) так, как будто матрица плотности есть элементарный оператор
o(z,S6h)', 2) затем произвести усреднение по ф; 3) наконец, опять
представить результирующий оператор в форме (9.152). На практике действия
в
(9.146) могут быть описаны дифференциальными операторами, содержащими
частные производные по переменным 2 и 96 ъ и действующими на элементарную
матрицу плотности о. Путем последующего интегрирования по частям можно
перейти к производным, действующим на вес ф. Если следовать этому пути,
то для ф получается дифференциальное уравнение, являющееся обобщением
уравнения (9.146). Мы не будем выполнять соответствующих расчетов, а
только приведем результат, полученный Гордоном для представляющего
физический интерес случая, когда М \96h\ для любой переменной 96Таким
образом, уровень / = 0 макроскопически заполнен и действует как атомный
резервуар.
Пусть йо)а="е2 -ei представляет собой энергетический интервал между
уровнями 1 и 2; кроме того, введем обозначения = Nwi0 и
Г,= S ("' = 1,2),
!(?-"
Tl2=J^(WH + Wi2)
/
для различных скоростей перехода, относящихся к рассматриваемому вопросу.
Тогда основное уравнение для
(9.158а)
(9.1586)
338 ГЛ. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Ф (z,3?h,t) принимает вид
dtp
dt
Im-z фГ, - Лф) - (Г12 + гсоа) Ж]
-?r [pz* (Л'52 - Si) - (Г12 + i(r)a) Ж*] -
