Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
(9.159)
Хотя это уравнение имеет форму уравнения Фоккера- Планка, довольно
очевидно, что не все коэффициенты диффузии положительны; действительно,
некоторые диагональные члены вообще отсутствуют.
В принципе решение уравнения (9.159) дало бы весьма общую формулу для
рассматриваемой лазерной модели. До сих пор, однако, решения этого
уравнения не были получены. Несколько более простые уравнения получаются
в тех частных случаях, когда та или иная вероятность перехода значительно
больше остальных. При этом можно считать, что рассматриваемая переменная
выражается мгновенно (а не динамически) через оставшиеся переменные и
затем исключается из уравнения. Таким образом, мы опять сталкиваемся с
примером адиабатического приближения, встречающегося во многих разделах
физики.
Такую процедуру можно, в частности, осуществить в том случае, когда
выполняется соотношение Ti2 у/2. Это позволяет исключить как динамическую
переменную поляризацию Л (и, таким образом, Ж*), выразив ее через другие
переменные. Приведем без доказатель-
§ 3. ОПИСАНИЕ ЛАЗЕРА 339
ства уравнение, получающееся из (9.159) при использовании этого
предположения. Определим величину
юа - ю"
Г 4- Y i|! + J
(9.160)
и вероятность перехода
"- г"(2ГЕч • Ш6|>
Тогда преобразованное уравнение имеет вид -^г = { - ~ [я (Л°2 - Л\) - у]
(1 - ш) j --jp-ln {Л°2 - Ni) - у] (1 + га) х -~ [/?! + ((r)12 +
п + nz*z) Jf 2 - (Г, + nz*z) Л\] -
[/?2 - (Е? + Я + Л2 z) JC^ T" ((r)21 "6 Л2 z) Jf)] +
д<Л'
+ ifdF [y/7 + ЯаГг] +
d2
dz
d2 pcA"[ 3z
d2
ГгсгЛ'г - у л (1 - га) zJCij + r " y л (1 + ia)z*jf) j
+
-j я (1 + га) гИГ2j +
+ <3^2 dz" [ 2 га^2 ^2] '
~ doS^dzdz* м}ф- (9.162)
Как мы видим, это уравнение содержит частные производные до третьего
порядка включительно. Увеличение порядка уравнения - это цена, которую мы
должны уплатить за исключение переменной JI.
Особенно удобно ввести величину
z = (9.163)
340
ГЛ 9, КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
в качестве возможного представления для амплитуды моды 2. Здесь / = j 212
- интенсивность, а 0 - фаза волны. Уравнение (9.162) непосредственно
преобразуется в уравнение движения для ср(/, 0, Jf2, t) '¦
в, л-,, л-,, f) _ j _ JL ,я(/ + 1)л,г _ Я(,Г1 + V (л - ,), -
д Г а
о'6
д
pcV
[/?1 + {w 12 + л (/ + 1)1 Л°2 ~~ (Г[ + л/), J -
[^2 ~ О 2 + л + 1)} АС 2 + (^'21 + л/) ЛД +
сМ'2
X, , | 1
д/2
Й2 Г , X ^ , О2
/г (Yfl + л,Г2)] + -^02" [iff + лДД)] +
[л(2/+ \)Х2-я1/г1\ + -?-1[-пиГ2] +
рсУ1! л/ 1 v ' 2 1J 1 роУ2Р/
d2 Г Я аг'Г 1 ~| "I-ггт~тсг ("тт аЛс;
д*\дЪ L 2 1 | ' (Д'л Й0 L 2
Р3 г 7 1 <Э3 Г яД".
РД',5/2 [л/ьУ2] рд-1(?02 (_ 4/ ]|ф- (9.164)
Можно провести дальнейшее сокращение атомных переменных и получить
уравнение только для полевой моды. Если принять, что Ti и Г2 велики по
сравнению с вероятностями перехода w 12, to2i и л, то можно исключить
заселенности атомных уровней Jf\ и Л°2- К сожалению, полное исключение
этих переменных приводит к обобщенному уравнению Фоккера - Планка,
содержащему производные произвольно большого порядка. Мы выпишем
результат только для решения, проведенного в "диффузионном приближении",
когда удерживаются производные порядка не выше второго. Для упрощения
записи этого уравнения положим
0 = + я/(Г, + Г2), (9.165а)
A2^@-l[riR2 + nI(Rl + R2)], (9.1656)
Ai = @-'ir2Rl+nI(Rl +R2)l (9.165b)
Физически A2 и А, есть средние адиабатические значе-чения заселенностей
соответственно уровней и Ж\.
5 3. ОПИСАНИЕ ЛАЗЕРА 341
При использовании этих переменных приближенное уравнение для
диагонального веса ф(г, /) = ф(/, 0, /) приобретает следующий вид:
= | -Jj [л (/ + 1) ^2 - л1Ах + у (п - 1)] -
-^[|{я(Л2-Л,)-у}] +
-T-jjzlyiil + 0~'п1Т2{Г1А2-п1 {A2-Ai)}] +
[lT ^tl ^ П^ ^ 1 ("Т")' ^>^2 + ^V^)] +
+ ^"'^сх/Г2(Л2 - |ф. (9.166)
Таким образом, мы свели задачу к решению уравнения только для одной
полевой моды. Приближенная матрица плотности связана с решением уравнения
(9.166) соотношением
Р* (t) = J ф (z, t) | z) (z | dp (z), (9.167)
где z = ri2e~ie. Теперь, чтобы получить pb(t), уже не нужно, как в
(9.157), интегрировать по какой-либо переменной.
Интересно отметить эффект насыщения основных диффузионных членов при
большой интенсивности I. Коэффициент при фазовом члене минимален "при
резонансе", когда а = 0, или [см. (9.160)] когда соь = соа. При больших
интенсивностях из (9.165) следует, что коэффициент при д2/<302 принимает
вид
(уп + яЛ2) ~ -1- [уп + ] ¦ (9.168)
Выражение для коэффициента при д2jdl2 в случае большой интенсивности
можно несколько упростить:
ynl + л/Г2 (Г, А2 - л/ (А2 - Л,)} ~ уп! + -. (9.169)
1 1 "Г А 2
Это значение меньше, чем то, которое можно было бы ожидать, так как в
него не входит величина R.2 - вероятность перехода с уровня 0 на уровень
2 под действием накачки.
342
ГЛ. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Некоторые из этих результатов можно получить несколько иным образом.
Рассчитаем (/) и (/2) для равновесного решения уравнения (9.166), каким
бы это решение ни было. Это можно легко сделать, полагая <?ф/<^=0,
