Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
УРпт "
Отсюда для р,,т получаем решение
Р"т = ехр(р- 1 -рЕп) = Z~x ехр (- р?"); (9.73)
оно не зависит от т [следовательно, р = F(Ж)]. Используя нормировку Sp
(р)= 1, определяем Z:
Z = 2 exp(-p?n) = 2wnexp(-p?"), (9.74)
308 ГЛ. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
где Nn - степень вырождения уровня Еп. Величина Z называется
статистической суммой и играет важную роль. Основываясь на сделанных
ранее замечаниях, находим
Z = Sp(e-^), (9.75)
р = Z~'e~m. (9.76)
Энергия системы записывается следующим образом:
Е = Sp (рЖ) = Z~' Sp {е~тЖ) =
= 2 $птЕп = Z-1 2 ехр (- р?") Еп, (9.77а)
п, т
что можно представить в виде
E--^lnZ(p)-S|,(fes^-. (9.776)
<ЭР Sp (е-^) '
Преобразуя (5.75), получаем для поля излучения выражение
?-2>Т1ТГР <9-78>
К к
которое для больших, но конечных объемов квантования L3 можно
аппроксимировать выражением
ОО
? _ 2__-__ Г (fik_^ ^ k' = - f -- dx (9 79)
(2я)3 J " * ее*1Ы_! я2йзр4 J e*_j
Можно показать1), что последний интеграл равен л4/15, и мы приходим к
классическому решению (р = 1 /кТ)
р - El- L3 _ (кТУ L3 /"
с 15 й3р4 ~ 15 Й3 ' '
где к - постоянная Больцмана, а Т - абсолютная тем-
пература. Интегрируя (9.776) с учетом условия нормировки Z(оо) = 1,
получаем для Z(P) приближенное выражение
г"> = <*р[(ж)(жЛ- (9.81)
¦) См., например, книгу Ландау и Лифшица [9.1].
§ 1. ХАОТИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ СОСТОЯНИЯ 309
Из (9.80) вытекает, что Е однозначно определяет р и поэтому полностью
определяет равновесное тепловое состояние.
Наше тепловое состояние является, очевидно, частным случаем описываемых
соотношением (9.56) хаотических состояний, для которых N(v) = (e$ha-I)-1.
Понятие теплового состояния является настолько важным и фундаментальным,
что различные хаотические состояния часто нестрого называют "тепловыми".
Это отчасти оправдано, так как вполне общие хаотические состояния могут
возникнуть и чаще всего возникают как отфильтрованные тепловые состояния,
например при поглощении атмосферой излучения Солнца.
Г. Распределение фотоотсчетов для хаотических полей
Для простоты ограничимся обсуждением точечного детектора, расположенного
в точке R стационарного поля излучения. Чтобы можно было сравнить наши
формулы с формулами, полученными другими авторами, будем считать, что
присутствует только одна мода поляризации е?.. Положим
А<+) (0 = ех • А<+) (R, t)i (9.82а)
у (*) =" е* • V (R, 0- (9-826)
Тогда, приняв в соотношении (8.124) t = -Т/2 и воспользовавшись
диагональным представлением для матрицы плотности, получим
/
/
Q(l, Т) = у ехр = J Ф ({zfc}) ехр
Т/2
Ка f А[
-Т/2 Т/2
-la f V*{t')V (*') dt'
-Т/2
Д.
ф ({*,". (9.83)
Здесь А<+) и V связаны между собой соотношением (7.181а), а ф({г&}) -
нормальное распределение, которое благодаря разложению по когерентным
состояниям имеет вид (9.38). Для таких нормальных распределений
310 ГЛ. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
расчет среднего, входящего в (9.83), является типичной задачей теории
шумов.
Удобнее, не пользуясь соотношением (9.83), вывести пригодное для
настоящего случая распределение непосредственно из (9.59). Так как при
выводе выражения для Q(h, Т) нас интересует временной интервал только от
-Т/2 до Г/2, в соотношении (9.59) можно ограничиться функциями S(\), для
которых S(^) обращается в нуль при |/j/> 772. Это позволяет нам разложить
все нужные величины в ряд Фурье на временном интервале Т. Положим
S (t) = T~'h 2 Si ехр (- 2j
V (t) = T 1/2 2 exp (- 2ju'v7),
1
Г(/) = T~l 2 Г; exp(- 2niv[t),
(9.84a)
(9.846)
(9.84b)
где V; = ЦТ. Так как и V(t) и Г(/)- аналитические сигналы, индекс
суммирования / пробегает значения от 1 = 0 до +оо. Чтобы найти
распределение 0 для переменных Vi, можно написать, используя (9.59) и
(9.84),
Сд,{5} = ехр
= /ехр \
)
= lim Г 0L ({щ}) ехр У, (s*
I 00 J 4
п)
s,v
Дф(щ), (9.85)
где, как обычно, с1ц (v) = ti ]d2v. Замечая, что интеграл J -|г ехр ^ -
Ljr- + (st)' - s*o)j n~l d.2v = exp (- | s |2T)
распадается на два действительных интеграла, получаем
L
0i (W) = JJ -fj ехр (- -Цу-)(9-86)
1=0
таким образом можно определить искомые весовые функции для переменных гщ
Следует отметить, что это
§ 1. ХАОТИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ СОСТОЯНИЯ
311
распределение в общем случае отличается от (9.38). Наконец, соотношение
J Texp(-^-^aMn"'d2y = TrW
(которое получается просто из условия нормировки и замены переменных)
позволяет определить Q(K, Т) с помощью усреднения:
Q(X, Г) = /ехР^-=
= lim f 0? ({щ}) ехр v'v ТТ d\i (vt) =
I d j U
(9.87)
П
тЬг7 = exp [ - $] In (1 + }Mri)
Условие сходимости выражения (9.87) имеет просто вид 2Гг< оо. Важные
величины Г;, входящие в это выра-
i
жение, определяются соотношением
Г/2
гг= J Г (0 ехр Л. (9.88)
-Г/2
Общее и точное соотношение (9.87) имеет несколько простых предельных
форм. Когда Т значительно меньше времени когерентности, можно заменить
Г(/) на Г(0)ехр(-2nivot), где vo - центральная частота излучения. В нашем
рассмотрении с помощью гармонического
анализа [ср. (9.84в)] v0 = 10/Т для некоторого /03>1.
