Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
п
Фиг. 4. Распределение вероятности для числа зарегистрированных
фотоэлектронов (распределение фотоотсчетов). Экспериментальные результаты
взяты из работы Фрида и Хауса [9.4а]; теоретические - из неопубликованных
расчетов Бараката и Глаубера.
Точками показаны экспериментальные результаты, полученные для излучения
источника теплового типа, в качестве которого использовался
недовозбужден-ный лазер. Длительность выборки Т = 10""3 сек, число
выборок равно 13 093. Сплошной линией показана теоретическая кривая,
построенная на основе точного соотношения (9.87) в предположении
лоренцевской формы линии.
случае производящая функция Q дается многократ-ным гауссовым интегралом,
который сводится к обратному детерминанту бесконечного ранга. Только в
частном случае, которому соответствует соотношение (9.87), можно было
непосредственно диагонализировать этот детерминант и представить его в
виде произведения его собственных значений. В задачах такого рода
подобная простота является скорее исключением, чем правилом.
§ 2. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛАЗЕРА
Основываясь на разумных физических идеализациях, можно дать
феноменологическое описание лазера. Такое описание может основываться на
полуклассических представлениях, что позволяет определить весовые функции
$ -2. ФРНОМЕНОЛОГИЧЕСКИК .МОДЕЛИ ЛАЗЕРА
321
в диагональном представлении для матрицы плотности. Основная идея сходна
с тон, на которой базировались наши выводы для общих хаотических полей.
Как и раньше, источник г, возбуждающий поле излучения, разлагается на
несколько компонент zn; при этом должны быть проведены соответствующие
усреднения по их индивидуальным распределениям. Хотя для некоторых из
этих моделей можно ввести очень простые эквивалентные гамильтонианы, мы
не будем здесь этого делать. Значение этих моделей заключается в их
интуитивной связи с классической теорией случайных процессов, и именно
такой подход мы будем использовать. Ниже будет проведено краткое
обсуждение более реалистических моделей, когда оправдано полное квантовое
рассмотрение.
Начнем с замечания, что в том случае, когда стабилизированный внешний
источник г0 возбуждает одну нормальную моду, система находится в
состоянии |г0)(2о|. Это соответствует диагональному весу
Ф (z) = яб (z - z0) = яб [х - х0) б (у - г/о),
где z = х + iy. Заметим далее, что в шредингеровском представлении
матрица плотности имеет вид
р {t) = | ехр (- m0t) z0) (ехр (- iv>0t) z0 \
и не соответствует стационарному состоянию, так как, например, величина
(а(/))=ехр(-uuo/)zo зависит от t.
А. Идеальная модель
На оптических частотах мы едва ли можем располагать какими-либо
сведениями о начальной фазе осциллятора, поэтому приведенную выше матрицу
плотности нужно усреднить по фазе 0О величины 2о = ехр(г0о) |20|.
Сравнение с разложением (7.1) показывает, что результирующая матрица
плотности имеет вит
оо
р = ехр (- | г0 Р) ^ -^-| z0 Р" | п/ {п \ (9.120)
п-0
322 гл. 9. КОНКРЕТНЫЕ состояния ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
и, очевидно, является стационарной. Это состояние удобно также
характеризовать с помощью диагонального веса
Л
Ф (г) = (2л)-1 j лб (z - ехр (г'0о)| z01) dQ0.
- Л
Вспомним, что если х + iy = re'0, то для углов 0 в интервале -л < 0 ^ л
можно положить
б (х - х0) б (у- г/о) = г-1б (г - г0) б (0 - 0О).
Множитель гх нужен только для того, чтобы исключить г в выражении для
элемента площади dxdy = rdrdQ. Следовательно, можно написать л
ф(2) = (2Г' J | 2 Г1 б ( I Z I - [ 20 I ) б (0 - 0О) d0o =
-Я
= (2|2|)-1б(|2!-|20|) = б(|2|2-|20|2). (9.121)
Мы можем рассматривать это выражение как идеальное распределение для
лазера. Очевидно, амплитудные флуктуации в этой модели отсутствуют,
поэтому статистика отсчетов является пуассоновской. Далее, все
корреляционные функции четного порядка совпадают с корреляционными
функциями для чистых когерентных состояний, как, например, в случае
(а+ (0 а (0)) = ехр (т0() I z012.
Б. Модель колебания с диффундирующей фазой
Перейдем теперь к следующему примеру, а именно рассмотрим корреляционные
функции для одной моды
G = (а+ (/]) ... а+(/")а(Д+]) ... a(t2n)). (9.122)
Если интересующее нас состояние является когерентным 120), а
рассматриваемая мода представляет собой нормальную моду с частотой соо,
то
§ 2. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛАЗЕРА
323
В предлагаемой модели мы будем считать, что величина |2о|
стабилизирована, но существуют фазовые флуктуации. Предположим прежде
всего, что вместо а(/) = ехр(-/со0/)а мы имеем
a it) = ехр
i j со (t') dt'
а0,
(9.124)
где со (О-некоторая заданная функция, принимающая значения, близкие к
со0. Изменения частоты могут возникнуть, например, из-за флуктуаций
параметров резонатора.
С квантовомеханической точки зрения это означает, что феноменологический
гамильтониан для такой системы имеет вид Ж = йсо(/')а+ а, т. е. явно
зависит от времени. Такая модель, конечно, слишком искусственна, но мы
можем интерпретировать ее следующим образом. Так как полный гамильтониан
