Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
излучения содержит суперпозицию по множеству осцилляторов, флуктуации в
стенках резонатора - медленные по сравнению с оптическими частотами -
могут адиабатически переводить резонанс с одного осциллятора на другой.
Поскольку в данной модели мы пренебрегаем амплитудными флуктуациями,
вместо нескольких осцилляторных переменных можно использовать одну.
Если мы примем во внимание возможный случайный характер функций со (/'),
то соответствующая корреляционная функция G определяется как среднее по
ансамблю этих функций. Обозначая это среднее угловыми скобками, получаем,
что нам необходимо рассмотреть величину
G = \ ехр
2 п
i У} J со (/') dt'-i^^ (О dt'
1 О гс+10
= (ехр [i J s {t') со (t') dt'j ^ | z0 \2n.
Здесь функция
>|z0l2"^
s(0 =
2 n
n+1
(9.125)
dt (9.126)
324 гл. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
равна нулю, если t' меньше или больше, чем t\, ..., f2n,
в противном случае она принимает целые значения. На-
пример, если п = 1 и /j > t2, то
s (П = 0 (t'<t2),
s{t')= 1 (/, </'</,), (9.127)
s (/') = 0 (/[ < t').
В данном случае непосредственный физический интерес представляет
характеристический функционал случайного процесса, а не рассматриваемое
обычно распределение вероятности.
Среднее, входящее в (9.125), аналогично средним, возникающим в ряде
различных по своей природе физических задач. Искомое решение легко
получить для очень большого класса стационарных случайных процессов,
включающих в качестве частных случаев процессы, обычно встречающиеся в
физике. Каждое рассматриваемое здесь распределение характеризуется двумя
действительными функциями f(t) и G(t)\ последняя играет роль причинной
функции Грина в том смысле, что
G (0 = 0 (/СО).
Характеристический функционал любого процесса дается в случае
произвольной гладкой функции s(t) выражением
(ехр ?/ [ s (/') со (t')dt'~^) ~
= ехр | /со0 J s (/') dt' - j" f [ J s (/") G (t" - t') dt"j dt' J-.
(9.128)
Мы можем рассматривать в данном случае f(y) как довольно произвольную
функцию1), для которой /(*/) = =*f(-y)> 0 и /(0) = Г(0) =0.
') Точнее говоря, функция- f(у) должна быть показателем экспоненты так
называемого бесконечно делимого процесса. Достаточно широкий класс таких
функций дается выражением, указывающим на их общий характер:
f (у) = ky2 + J [1 - cos (Я,//)] а (Я) dЯ,
где ft ^ 0 п величина Х2а(Я)/( 1 + X2) неотрицательна н интегрируема.
Функция, входящая в соотношение (3.30j, является функцией
§ 2. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛАЗЕРА 325
Для ознакомления приведем без доказательства не-
сколько основных свойств указанных выше распределений. Из (9.128) в общем
случае следует
<(c)(*)> = Шо. (9.129а)
оо
С (0 = (Д(c) (/) Д(c) (0)) = f" (0) J G (/') G (t + t') dt', (9.1296)
о
где Дм(/)=(c)(/) - (ш(0). Эти результаты можно получить, подставляя в
(9.128) s(t')=b8{t' - ^)+с6(У)> за_ тем разлагая (9.128) по степеням b и
с и анализируя члены первого порядка по b и с. При f(y)~ ky2 процесс
является гауссовым и (9.129) определяет весь ансамбль [ср. (3.13)]. Если
для произвольной функции f принять, что
G(t) = Ae~Rt (t> 0),
G(/) = 0 (t< 0), (9.130)
то
(Д(c) (t) Д(c) (0)> = e~Rtf" (0) (9.131)
и процесс является марковским; для любой другой функции G(t) процесс
будет немарковским. Особый интерес в случае марковского процесса
представляет условное распределение
Р (м, t\ ш,) = (2л)-1 J ехр [iy (м - -
t
-1ущ(\ I f(Aye-Rt')dt'] dy, (9.132)
о
которое можно вывести из (9.128). Стационарный марковский гауссов процесс
обычно известен физикам под названием процесса Орнштейна - Уленбека.
именно такого типа. В этом случае а(Х) есть плотность вероятности
нормального распределения. Более глубоко с затронутым вопросом можно
ознакомиться по работам Лукача [3.1] И Гельфанда и Виленкина [3.6].
326
ГЛ. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Малое время корреляции. С помощью соотношения
(9.128) точное выражение для нормально упорядоченной корреляционной
функции целого ряда процессов сводится к квадратурам. Существенное
упрощение можно провести, когда время корреляции процесса со(^) очень
мало. В случае марковского процесса это имеет место при большом R, а
вообще в том случае, когда область, в которой локализована функция G(t),
достаточно мала. Предположим, что
т = j G (t')dt'=? 0;
(9.133)
тогда можно подставить в (9.128) G(t)^x6{t). При этом получаем
^ехр [ i J s {У) оо (У) dt'j ^ =
= ехр | г'со0 J s (t')dt' - J f [ts (/')] dt' j. (9.134)
В частном случае, когда п- 1, функция s(t') определяется соотношениями
(9.127). Полагая t\ - t > 0 и t2 = 0, имеем
t
(ехр
J со (t') dt'
= ехр [г'со0/ - tf (т)].
Результат для / < 0 можно получить, учитывая стационарность процесса,
ехр
J со (t') dt'
\ = / / \
ехр
i | со (t') dt'
\ = /
= /
ехр
i | со (t') dt'
\ = /,
ехр
i
L 0
J и (t') dt'
\.
/ '
Отсюда видно, что для произвольного t
I
ехр
i J со {t') dt'
\;
ехр [гсо0/ - \t |/ (л)]. (9.135)
§ 2. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЙ .модели лазера 327
При этих условиях мы неизбежно приходим к лорен-цевской форме спектра для
