Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, из (9.88) вытекает, что К, = 7Т(0), а все другие Г; равны
нулю. Тогда получаем
^ = 1 + Aaf)~ = 1 + ХаТТ (0) ' ^9'89^
это выражение представляет собой производящую функцию для бозе-
эйнштейновского, или геометрического распределения фотоотсчетов [см.
(2.20)]. Из (2.19) следует, что
Р (m, Т) = (1 + /п)~' (1 + ih~l)~m, где m = аП'(О).
312 ГЛ. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
В следующем приближении для малых Т мы можем учесть медленные изменения
модуля Г(^). В частности, если положить
Г (t) == Г0(0 ехр (- 2niv0t) = Г(0) y0(t) ехр (- 2niv0t), (9.90)
где Го(/)*"Г(0) в интервале \t[-*CT/2, то наибольший член в (9.88) имеет
вид
Т/2
г/о= J гo(t)dt.
- Т/2
Остальные члены
Т/2
Г,0+/= Г Г0(t)e^dt
-Т/2
предполагаются очень малыми при всех I ф 0. Можно разложить логарифм в
выражении (9.87) для Q(X,T) в ряд по степеням этих малых членов. Если в
разложении оставить только члены первого порядка малости, то получим
^ r) = T+irr7exp(- Е^аГ'+'")^тткгехр(~Ш2)>
(9.91)
где штрих у знака суммы означает, что член / =0 из суммы опущен. Однако
для определения соответствующих параметров не нужно в явном виде
проводить суммирование в экспоненте. Из соотношения
оо
Q (Я,, Т)= 2(1- *.)" Р (ш, Т) (9.92)
пг~ 0
и соотношения (3.39) вытекает, что в общем случае
>n=--~Q(l,T) |я=0 = <*7Т (0). (9.93)
С помощью (9.91) получаем
rh - mx + щ = al i (0); (9.94)
§ 1. ХАОТИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ СОСТОЯНИЯ 313
далее, принимая во внимание (9.90), имеем
Т/2 772
tni = a J T0(t)dt = аГ(0) J y0(t)dt, (9.95a)
-Г/2 -Т/2
Т/2
т2 = а7Т (0) - ш, = аГ (0) f [1 - y0(t)]dt. (9.956)
-Г/2
В правой части соотношения ( 9.91) стоит произведение производящих
функций для распределения Бозе - Эйнштейна и для распределения Пуассона.
Отсюда результирующее распределение фотоотсчетов в соответствии с (2.35)
дается сверткой
т
Р {т, Т) = 2 Pi {m - п, Т) Р2 (п, Т), (9.96)
П~0
где распределения Рi и Р2 имеют вид
Р[ {гп, Т) = (1 + /п,) (1 + mf1)'", (9.97а)
(rft \m о-(tm)*
P2(m, Т) = m f- ¦ (9.976)
Дисперсия результирующего распределения определяется выражением
а2 = (Amf = tn + tn2 = пг -Ь(1+ r)~2th2, (9.98)
где г = m2/ini.
Для иллюстрации предыдущих соотношений возьмем в качестве примера уо(0 =
ехр(-у|^|). В этом случае имеем
т, = "Г (0) Т (1 ут)~' [1 - е~(tm)] ~ "Г (0) Т [l - | ут]
(9.99 а)
и
т2 = аГ(0)Г-т, " {-аГ(0)уГ2; (9.996)
последние выражения в (9.99а) и (9.996) получены в предположении, что
уГ<С 1. В (9.98) множитель г^уТ/4.
314 I Л. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
Обратимся теперь к рассмотрению соотношения
(9.87) для другого предельного случая, в котором время Т больше
времени когерентности. Тогда можно считать Г; медленно меняющейся
функцией /. Если это так, то можно перейти к непрерывном)' приближению и
заменить сумму 2 интегралом Т / dv аналогично тому, как
i
это было сделано лрн выводе соотношения (9.79) для больших объемов
квантования. В этом случае
Q (к, Т) == ехр - In (1 + ЯаГ,)
i
= ехр | - Т J dv In [1 + А.аГ (v)]J , (9,100)
где можно выбрать [ср. (9Т
ос
Г (v) = J г {t)e2nMdt (9.101)
- оо
в качестве спектра мощности для стационарного гауссова процесса.
В общем случае полное распределение фотоотсчетов P(m, Т) сложным образом
зависит от формы спектра мощности. Из определения (9.92) вытекают два
метода нахождения распределения фотоотсчетов. В первом методе
P{m,T) = ^f-^rQ(l,T) |^г (9.102)
Во втором методе 1-). заменяется на еи. Тогда для
Р(пг, Т) получаем интеграл
Л / оо
Р (m, Т) = (2я)~' J ехр j - iam - Т f dv In [1 -f-
- Я I 0
+ (1 -^)aT(v)] \ ds, (9.103)
Можно упростить последнее выражение при следующих разумных
предположениях. Выведенные выражения
§ 1. ХАОТИЧЕСКИЕ II ТЕПЛОВЫЕ СОСТОЯНИЯ
315
справедливы при больших Т и относительно широком спектре T(v). И то и
другое способствует тому, чтобы величина in была значительно больше
единицы. Тогда разумно предположить, что Р(пг,Т) является медленно
меняющейся функцией т. Мы можем аппроксимировать ее (с помощью
интерполяции) гладкой функцией р(х, Г), проходящей через точки р (хт,Т) ~
тР (т, Т), где xm = m/in. При этом для функции р(х,Т) во всех случаях
выполняется условие нормировки
оо оо
J р(х, T)dx= ^ p{xm, T)jr=* 1. (9.104)
0 т=0
Чтобы идти дальше, заметим, что я ,
тР (т, Т) - (2л)-1 m ехр! - ismxm -
-i I
i
-¦ Т [ dv ln[l + (1 - eis) af (v)]! ds =
o' J
nm /
= (2л)-1 J exp | - iyxm- (9.105)
-Jim I
- T J dvln[l + (1 - eiy,a) aT(v)] | dy.
Аппроксимацию гладкой функцией получаем, заменяя пределы интегрирования
по y( = sm) на ±оо и оставляя под знаком логарифма только первые члены
разложения по степеням у. Иначе говоря, мы полагаем
ОО {
р{х, 7') = (2я)-1 J ехр I - iyx - (9.106)
- оо {
ОО V
- Т J dv In [1 - iih~xyoP (v)l idy.
0 I
Так как соотношение (9.106) можно рассматривать как предел соотношения
(9.105) при in-юо, m -* оо, Г (v) ->оо, хт->х и фиксированном m_1f(v),
то, очевид-
316 гл. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
но, что р(х,Т) обращается в нуль при х < 0 и что р(х, Г)>0 для х>0.
