Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
корреляционной функции (а+ (/)а(0)) с шириной линии /(т).
В том случае, когда т можно рассматривать как "малый" аргумент функции /,
ширине /(т) лоренцевской линии можно дать более ясное физическое
толкование. Из (9.1296) вытекает, что
J С (0 dt = f" (0) j J G it') G{t + t') dt dt' =
= f"(°)[J G(t)dtJ = f"(0)t2. (9.136)
Мы говорим, что аргумент т мал, если в разложении f(i) можно положить
f (т W (0) + тГ (0) + ~ ТТ (0) = 1 J С (0 dt, (9.137)
где мы сохранили только первый неисчезающий член. Для гауссовой диффузии
соотношение (9.137) является точным. В этом случае из (9.135) следует
(а+ (/) а (0)) = ехр (г'со0t - g \t \) | z012, (9.138)
где ширина линии
со
? = У j С (t)dt= j (Aa>(t)Aa{0))dt. (9.139)
о
Таким образом, ? есть интеграл по времени от автокорреляционной функции
частотных флуктуаций.
Конкретные примеры, приведенные выше, должны иллюстрировать корреляции
различного типа, содержащиеся в (9.128). Однако нужно подчеркнуть, что в
этом анализе предполагается наличие только фазовых флуктуаций, т. е.
принимается, что какие-либо корреляции в статистике фотоотсчетов
отсутствуют.
В. Модель, оперирующая с суперпозицией сигнала и шума
Простая физическая модель, в которой имеются амплитудные флуктуации (и,
следовательно, корреляция отсчетов!), состоит в следующем. Предположим,
что в
328 гл. 9. КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ поля ИЗЛУЧЕНИЯ
любой фиксированный момент времени амплитуда нашей нормальной моды может
быть записана в виде
z (/) = ехр (- г'со0t + г'0о) z0 + zn (t). (9.140)
Здесь z0 и "о рассматриваются как постоянные величины, фазы Оо
распределены равномерно, a zn - независимый шумовой источник с гауссовым
распределением. Диагональный вес ф, соответствующий такой сумме,
определяется как свертка распределений входящих в нее слагаемых. В
частности, в соответствии с (8.203а) можно написать
Ф (z) = { ф, (z') Ф2 (z - z') d\i {z') =
= щ J J (2\z'\y]b(\z'\-\z0\)X
X exp -~e{N\Z ^ ) I z' Id | z' |d&' =
= (2л (N"-¦ J exp p^1"1'2) rfO'.
-Л
Разложим экспоненту в подынтегральном выражении
| 2 - ет' 120112 = I z \2 + | Zq \2 - I z01 (г Vе' + ze~m') -
= | z |2 + | z012 - 21 z011 2 | cos (0' - 0).
Вспоминая определение модифицированной функции Бесселя первого рода
Л
1а(х) = (2лГ' j excos6dQ,
-Л
нетрудно видеть, что1)
Ф(г) = (N)~[ /0(2!^J) ехр [- JJ • (9.141)
Распределение отсчетов. Для времен Т, малых по сравнению с временем
когерентности, производящая
') Этот результат был впервые получен Райсом [3.3].
§ 2. ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛАЗЕРА 329
функция Q(X, Т) для распределения отсчетов дается выражением [ср.
(8.101)]
Q {X, Т) = (: ехр (- ХаТ afa) ) =
= J ф (г) ехр (- ХаТ \ z |2) d\i (z) =
оо
= (N)~1 J/o(2|^°')x
О
X ехр [ - ХаТ \ z |2 - °-1-"] d \ z [2. (9.142)
С помощью известного интеграла
оо
J /0(2 Ybx )е~ах dx = ~ebla о
выражение (9.142) можно записать в виде
Q <Х Т) = j + ыт ^ ехр [ - j ЫГ ^Njj. (9.143)
Очевидно, при (N)-*- 0 распределение отсчетов становится пуассоновским, а
при |z0|2->-0 - геометрическим (Бозе - Эйнштейна).
Чтобы получить общее распределение отсчетов, положим сначала
aT(N) п аТ | г012
Г ~ 1+аТ (N) ' S ~ 1 +аТ (N)
и перепишем знаменатель в (9.143) в виде
1 + ХаТ (N) = 1 + аТ (N> - (1 - К) аТ (N) =
= (1 +аТ (N))[l -(1 -к) г].
Таким образом, получаем
^ Т^ = 1 +аТ (N) 1 - (1 - Я) г ехр [_ 1 - (1 - Я) г ] * Теперь,
воспользовавшись тождеством
?vS= - rs(l - X) (r"' - 1) + s [1 - (1 - Я) г],
330 гл. 9, КОНКРЕТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ
П
Фиг. 5. Распределение вероятности фотоотсчетов для гелий-неонового
лазера, работающего в режиме, близком к пороговому, при длительности
выборки 10~5 сек. (По данным Фрида и Хауса [9.46].)
Экспериментальные результаты показаны точками и вертикальными прямыми,
определяющими доверительный интервал; число выборок равно 15894, Av="260
гц. Теоретические результаты, полученные иа основе модели сигнала, иа
который налагается шум [см. (9.144)], показаны сплошной линией. Для
сравнения штриховой линией изображено пуассоновское распределение.
находим
пп Г) - !___ехрП(г~'-1)(1-Я)Ч
VIA. П- i+aT(N) 1 - (I - X) г 1 - (1 - Я) г Г
Производящая функция для полиномов Лагерра [определяемых соотношением
(2.25)] записывается следующим образом:
оо
т~гехР (т^т)= Si ^т(х)-0
$ 2, ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЛАЗЕРА
331
Фиг. 6. Распределение вероятности фотоотсчетов для гелий-неонового
лазера, работающего в режиме, близком к пороговому, при длительности
выборки Ю-2 сек. (По данным Мейджила и Сони [9.10].)
Экспериментальные результаты представлены гистограммой, проведенной
сплошной линией, а теоретические результаты, полученные на основе модели
сигнала, на который налагаются шумы [см. (9.144)], показаны пунктирными
линиями.
Искомое распределение отсчетов при учете (9.92) имеет вид
Р (т, t) = ¦
1 +аТ (N)
= (аГ (N))m
(1 +аГ {N))m+X ехр
XZ.J----------
а Г I 2012
1 + аТ (N) .
X
))¦
(N) (1 +аГ (.V)))' (9.144)
что впервые было показано Глаубером [9.3]. Это распределение можно
