Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
= 1. Наконец, фурье-образ искомого веса, согласно (8 148), имеет вид
ФсЛ*, fe) = ехр j - [(со - 1)х2 + (or1 - 1)/г2] j. (8.198)
Это выражение при со < 1 (или при со > 1) растет как экспонента от
квадрата х (или k). Таким образом, вопрос о нахождении распределений ф
(х, k), определенных на пробных функциях в 3)ч (бесконечно
дифференцируемых и равных нулю вне конечной области), является отнюдь не
академическим.
Чтобы придать этому примеру смысл распределения в диагональном
представлении, возможны два подхода. В прагматическом подходе исходят
просто из общих выражений (8.190) для средних значений. В частности,
получаем
(U [k, х]> = <0 JU[k, х] |0М) =
= фш(-*, -6)ехр[- -^г-(х2 + /г2)] =
= ехр| --^-[йГ^ + сох2]!. (8.199)
]) Отметим, что этот пример имеет непосредственный физический смысл.
Процесс нарастания колебаний одномодового параметрического генератора из
квантовых флуктуаций приводит именно к таким состояниям, Подробнее об
этом см. в работе: В. R. М о 1-
1 о w, R. J. Glauber, Phys. Rev., 160, 1076 (1967). - Прим. nepee.
5 4. ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 277
По случайным причинам это выражение совпадает с (7.121) при К = 1 для
осциллятора с круговой частотой шнМ. Средние значения операторов,
отличающихся от операторов Вейля U[k, х], можно теперь извлечь в силу
линейности из той информации, которая содержится в (8.199). Во многих
отношениях при таком прагматическом подходе распределение ср(г)
рассматривают как функционал и задают теми значениями, которые он
принимает для производящего ряда ограниченных операторов, Линейные суммы
таких операторов позволяют построить все ограниченные операторы. В
качестве производящего ряда при этом используются нормально упорядоченные
производящие функции или характеристические функции.
Наоборот, в систематическом подходе стараются описать распределение
непосредственно, скажем с помощью последовательности весовых функций
cpM(z). Так как функция t(x,k)=(U[-k,-х]), заданная выражением (8.199),
является, очевидно, бесконечно дифференцируемой и быстро убывающей, то
для адекватного описания достаточно рассматривать весовые функции,
являющиеся фурье-образами от
ум{х, k) = ехр j - WM(x, k)--~[(a>- 1)х2 + (со-1-1)/г2]|,
(8.200)
где WM (при М = L) определяется соотношением
(8.183). Разумеется, отнюдь не легко явно найти функции фм(р,я), хотя мы
совершенно уверены в том, что они существуют и обладают соответствующими
свойствами.
Комбинации типа свертки. В некоторых случаях при рассмотрении случайной
переменной удобно разделить ее на два (или даже большее число) члена: z =
я + |3, каждый из которых обладает собственными флуктуациями,
описываемыми соответствующими распределениями. Здесь можно рассматривать
Рг - J фг (Р) 1 а + Р) (а + р I d\x (р) (8.201 а)
278 ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
как матрицу плотности, получающуюся за счет флуктуаций только величины
|3, входящей в 2. Аналогично можно рассматривать
Pi = J ф, (а) | а + Р) (а + Р | ф (а) (8.201 б)
как матрицу плотности, получающуюся за счет флуктуаций только величины а,
входящей в г. Совместные флуктуации величин аир приводят к матрице
плотности
р = j Ф1 (а) ф2 (р) [ ct + Р) (а + р | ф (а) ф (р) =
= J Ч>1 (а) * Ф2 (а) I а) (а IФ (")> (8.202)
где
Ф (а) == ф1 (а) * ф2 (а) = j ф, (а - р) ф2 (р) ф (р). (8.203а)
Это выражение напоминает обычную комбинацию типа свертки плотностей
вероятности в классической теории вероятностей.
Переходя к представлению в фазовом пространстве, имеем
Ф(р, q)=s J фi(p-p', q-q')(f>2(p', q')d\i', (8.2036)
что после преобразования Фурье дает
ф (х, k) = ф, {х, k) ф2 (х, к). (8.204)
В общем случае, когда ф (г) представляет собой распределение, можно
начать рассмотрение с соотношения (8.204). Если распределения фЬ ф2 и ф
таковы, что pi, рг и р суть настоящие матрицы плотности, то соотношение
(8.204) будет справедливо; при этом все три функции ф), ф2 и ф являются
непрерывными функциями рассмотренного выше типа. Однако, даже если ф, и
ф2 описывают матрицы плотности, функция ф(д:, k), определяемая равенством
(8.204), не обязательно отве-
I) 4. ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
279
чает матрице плотности1). В качестве примера можно взять функцию ф) = ф2
= фи (.т, k) из (8.198) с со<72или со > 2; при этом <р не удовлетворяет
неравенству (8.1496). С другой стороны, важно отметить, что если ф! и ф2
отвечают матрицам плотности, то модифицированная свертка, определяемая
соотношением
ф (х, k) = ф, (s,.v, sxk) q>2(s2x, s2k), s2 + s2=l, (8.205)
всегда приводит к диагональному весу ф(а), описывающему матрицу
плотности2).
Описание с помощью двойного интеграла. Выше мы стремились придать точный
смысл диагональному представлению
р = | ф (z) |z) <z| d2z, (8.206)
в котором р записывается в виде суперпозиции "внешних произведений
одинаковых векторов", или операторов проектирования на когерентные
состояния. Всегда существует другое представление. Именно, согласно
общему правилу (7.56), можно написать
