Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Клаудер Дж. -> "Основы квантовой оптики" -> 87

Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.

Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики — М.: Мир, 1970. — 430 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovikvantovoyoptiki1970.djvu
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 129 >> Следующая

(8-228)
обладает требуемым свойством сходимости, поскольку
I ¦т - Т" II, - IIт - Гм"1 1,"2IIт - т" II, + W - 0.
Следовательно, если ввести функции
Флг({2Ы) = Фмлп({2*.лг})> (8.229)
то можно сформулировать следующее фундаментальное утверждение:
Всякий оператор Т с конечной следовой нормой можно представить
последовательностью операторов TN, каждый из которых обладает
диагональным представлением
TN = J Флг n)) I {Zk, n)) ({Zk, лг) I Ф- ({г*, л,}), (8.230a)
где ф.у ({2ft, ,v})-бесконечно дифференцируемая быстро убывающая функция,
причем для этой последовательности
|| Т -TN Ц,-*0. (8.2306)
286
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Если Т = р - матрица плотности, то p-Y = PNpPN - эрмитов неотрицательный
оператор. Из нашей последовательности всегда можно опустить любые
начальные члены (число их по крайней мере конечно), для которых pjV = 0;
впредь мы будем пренебрегать ими. Как и в случае одной степени свободы,
мы можем выбрать каждый член двойной последовательности р^ эрмитовым и
неотрицательным. Более того, в последовательности с одним индексом рч =
[jV], определяемой, например, в
смысле условия (8.227), действительные функции Ф^ = Ф^[/У] можно
нормировать так, чтобы Бр(р^)=1. Тем самым мы установили следующее:
Всякую матрицу плотности р можно представить последовательностью матриц
плотности рЛ*, каждая из которых обладает диагональным представлением
Ра = { Фа ({2*. д'}) Ife, a}) ({zfc. a} I d\i ({zk, ,v}), (8.231а)
где Фа({2а,а})-бесконечно дифференцируемая быстро убывающая
действительная функция, причем для этой последовательности
I! Р - P.v Hi -> 0- (8.2316)
Ниже мы сосредоточим свое внимание на матрицах плотности.
Условие сходимости (8.2316) и интегрируемости функций фЛ' позволяет
утверждать, что для произвольного ограниченного оператора В
(B) = Sp(pB) = lim Sp(plV?) =
/V-> ОО
= lim f фЛ, ({zk, jv}) ({zk, v)1В 1 {z,, iV}> d\i ({zfc, л,}) =
= J Ф (Ы) ({zk} IВ I{z J) dp ({z*}), (8.232)
где распределение (на функциях ({zft} i ^ i бесконечного числа
переменных) в последней строке определено с помощью предыдущей строки.
Более того, теперь мы можем определить правую часть соотношения
Р = j Ф Ы I fe}> ({г*} I dll ({z J) (8.233)
§ 4. ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 287
с помощью предела выражения (8.231а) при /V -юо, или с тем лее правом с
помощью формулы (8.232) для среднего значения произвольного ограниченного
оператора. Именно в таком смысле следует понимать диагональное
представление при его использовании в проведенном выше выводе
распределений отсчетов.
Существует также и аналог утверждения, высказанного в связи с (8.174).
Именно, если рассматривать только такие ограниченные операторы, для
которых ||В||^ 1, то средние значения всех таких операторов могут быть
равномерно и с произвольной точностью аппроксимированы выражениями типа
{ Фа ({гк. д'}) ({Zfc, а} IВ | {zk, N}) d\x ({zkt д,}), (8.234)
где N- конечное число, а <рл- - пробная функция из
2 N-
Как обычно, формула для среднего значения принимает особенно простой вид
для нормально упорядоченных операторов В = :(7({а?}, В этом
случае
<:С({а|), K}):>=J ф({2,})6?({2;}, {zft))rf|i({zA}).
(8.235)
В частности, нормально упорядоченный производящим функционал (8.23)
определяется соотношением
С а ({"Л) = \ ехр У ика\ ехр - У ы*,
cp({z?})exp
("А - <zk)
d\i({zn}). (8.236а)
Сравнивая с (8.190а), получаем Слг ({"*})= Пт фл, (-хи ..., - xjV; -
ku..., - kN) =
Л( -> оо
= ф({- хк}, {- kk}), (8.2366)
где uk = {%k + ikk), V 2h.
288
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Нет необходимости повторять вывод распределений отсчетов P(m,T + t,t) и
т. п., который был проведен ранее. Читатель может легко убедиться в том,
что операторы, средние значения которых определяют, например, P(m,T +
t,t) и Q(X, T + t, t), в (8.132) и (8.133) действительно являются
ограниченными операторами. В самом деле, оператор, среднее значение
которого в произвольном состоянии не превосходит единицы (а из физических
соображений следует, что Р и Q должны удовлетворять этому условию), по
определению является ограниченным оператором с нормой, не превосходящей
единицы. Тем самым проведенный анализ придает сделанным ранее выводам
точный смысл.
При рассмотрении поля излучения существуют прямые аналоги тех комбинаций
типа свертки и представлений с помощью двойного интеграла, которые
обсуждались для случая одной степени свободы, однако мы не будем
приводить здесь эти довольно очевидные обобщения.
В заключение этой главы сделаем следующее замечание. Диагональное
представление позволяет дать такую формулировку квантовой теории
оптической когерентности, которая по существу во всех отношениях
эквивалентна формулировке классической теории, если в последней проводить
описание в терминах аналитических сигналов. Именно этот замечательный
результат составляет сущность оптической теоремы эквивалентности1).
') Оптическая теорема эквивалентности была открыта Судар-шаном [8.7].
9
Конкретные состояния поля излучения
§ I. ХАОТИЧЕСКИЕ И ТЕПЛОВЫЕ СОСТОЯНИЯ
Предыдущая << 1 .. 81 82 83 84 85 86 < 87 > 88 89 90 91 92 93 .. 129 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed