Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
M">oo *
= lim [ (pM {p, q)(p, q\B\ p, q) dp =
M-±°o J
- { ф(p> q)(p> я lfi!p- <7>Ф =
= | y{z){z\B\z)dp. (8.172)
При получении третьей строки было использовано неравенство
J I <Рм(Р> <7)1 dp <°о,
тогда как два последних выражения определяют распределение ф (р, (?)-или
в комплексной форме ф(г) - с помощью хорошо определенной предельной
процедуры. Разумеется, не всякое распределение ф(г), определенное таким
образом, являеюя "ненадежным"; многие из них
270
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
соответствуют функциям с хорошим поведением, для которых последнее
выражение можно рассматривать как определенный в обычном смысле интеграл.
Следует отметить ту роль (на первый взгляд не существенную), которую
играет в нашем основном результате (8.172) свойство единственности
оператора В при заданных диагональных элементах {г\В\г). Ясно, что если
бы для некоторого В Ф 0 все эти диагональные элементы обращались в нуль,
то из (8.172) вытекал бы абсурдный результат для многих матриц плотности.
Приведем другую формулировку нашего основного результата (8.171),
выявляющую практическое удобство аппроксимации. Ограничимся такими
операторами, для которых ||В|| Д1. Это подмножество ограниченных
операторов включает все унитарные операторы или операторы проектирования.
Оно включает также такие представляющие физический интерес операторы,
средние значения которых дают распределения отсчетов.
Из свойства
| Sp(pB) - Sp {рмВ) |< || р - р.м ||, • || В ||<|| р - рЛД, (8.173)
справедливого при всех ЦВЦД1, видно, что средние значения всех таких
операторов могут быть равномерно аппроксимированы.
Иными словами, для любой матрицы плотности р, описывающей систему,
среднее (B)s=Sp(pB) любого ограниченного оператора (||Bj| Д 1) может быть
равномерно (т. е. независимо от конкретного вида В) с произвольной
точностью представлено с помощью интеграла, понимаемого в обычном смысле:
[ ф (р, q)(p, q\B\ р, q) d\i, (8.174)
где ф {р, q)-бесконечно дифференцируемая действительная быстро убывающая
функция.
Конкретные представления последовательностями. Выше уже отмечалось, что
функция cp(z) может быть представлена последовательностью весовых функций
ФM{z) с хорошим поведением. Чтобы в реальных случаях выбрать подходящую
последовательность, можно
§ 4. оптическая теорема эквивалентности 271
обратиться к проведенному выше построению. Например, пусть состояние
задано в виде р = В*В. Не теряя общности, можно выбрать единственный
оператор В, исходя из требования, что В = В' > 0, а именно В = р'/д
Заметим, что из (8.140а) следует Т (a, k) = | e-iikq-xp)ih q\j\py q) rfp
=
exp[- (uz' -uz)](p, q\T\p, q) dp, (8.175)
где
(fo-, г == Sl+M , (8.176)
(2Й)/з (2Й)
Используя свойства когерентных состояний как собственных векторов и
соотношение (7.26), можно написать
Т (а, k) = j (р, q | ехр (- иа') Т ехр (и а) | р, q)d\i =
= Sp (ехр (- иа:) Т ехр (и а)} =
- Sp {Т ехр (и*а) ехр (- uaf)} =
= Sp {Т ехр (и а - uaf)} ехр | и |2j. (8.177)
Учитывая (8.159), получаем
t (а, к) = Sp {TU [к, а]) =
оо
= S р/ <Ф/ I ?/+ [к, А] I ф,-). (8.178)
/"I
Этот ряд абсолютно сходится и определяет ограниченную непрерывную
функцию. Очевидно, [ t (а, к) | ^ 211 Р/1 = = (!7"|| [, откуда с учетом
(8.159) и (8.148) сразу следует неравенство (8.1496). В свою очередь
весовая функция Вейля для В = р1/г имеет вид
оо
b (а, к) = S Р? I Uf [к, а] 1 ф,). (8.179)
Здесь в общем случае имеет место сходимость в смысле В2. Заданный элемент
Ь(х,к) из В2 можно в принципе
272
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
непосредственно аппроксимировать пробными функциями из Ф2 с тем, чтобы с
помощью (8.168) определить подходящую последовательность.
Можно, однако, аппроксимировать непосредственно t(x,k) вместо того, чтобы
использовать аппроксимации для b(x,k). В этом случае устанавливают
существование в последовательности с тремя индексами такой
подпоследовательности
Гм(^> k) = Г\овд, l [.и] (x, k), (8.180)
которая обеспечивает желательные свойства cpM(p,q) и Гм, а именно ||ГМ -
ГЦ1-*-0. Основная последовательность с тремя индексами имеет вид
tJN, l (х, k) = ехр [ - WL (х, /г)] t*N {х, k) =
= ехр[-WL{x, Щ N\Uf[k, А-]|ф/; N), (8.181)
/*=1
где мы положили
N
1Ф;-; Л0= 2|я)(я|ф/>. (8.182)
п = 0
Здесь In) - обычные собственные состояния осциллятора и введена функция
(в системе единиц, в которой Ь= 1)
WL(x, k) = f(x-L) + f{-x-L) + f{k-L) + f(-k-L)
(8.183)
с
/ (&) " i/" ехр (-Л-) (!/>0),
fto)-0 (У < 0). (8л84)
Такая последовательность, весьма запутанная и громоздкая с точки зрения
практического применения, удовлетворяет, тем не менее, требуемому
критерию сходимости по следовой норме. Усечение ряда и аппроксимация
состояний [см. (8.182)] введены для того, чтобы сделать tJN(x, k) пробной
функцией из Ф2 (бесконечно дифференцируемой и быстро убывающей);
множитель
§ 4. ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 273
ехр(-WL) обеспечивает быстрое убывание (и бесконечную дифференцируемость)
функции
Фn,l(x' k) = t}N,L^x' 6)exp[^-(x2 + ?2)]. (8.185)
