Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
3, соответственно класс допустимых распределений будет в данном случае
шире. В частности, функция ср(х) = ехр(х2) является распределением в 3>
[так как / (p(x)f(x)dx = ср{/} определяет линейный функционал в 3)], но
это не умеренное распределение.
Фурье-преобразования от распределений определяются с помощью
соответствующих фурье-преобразований их пространств пробных функций.
Например, для каждой пробной функции f(x) из 9* можно ввести функцию
f (у) = (2л)_ 1/2 [ e~l"xf (х) dx. (8.145)
Нетрудно видеть, что это преобразование отображает пространство 9 само на
себя, так как фурье-образ бесконечно дифференцируемой быстро убывающей
функции обладает теми же самыми свойствами. Следовательно, если по
аналогии с формулой Парсеваля определить распределение ф таким образом,
чтобы равенство ф{/*} = = ф{/'*} выполнялось для всех f(x) из 9 (где ф -
умеренное распределение), то и само это распределение будет умеренным.
Например, если ср = б(х - х0), то ф = (2я)1/2ехр(-iyxо); последнее
распределение, очевидно, хорошо определено на всем пространстве 9.
Конечно, очень удобно, если преобразование Фурье оставляет инвариантным
заданный класс пробных функций (а вместе с ними, следовательно, и
соответствующие им распределения). Однако это не означает, что так должно
быть всегда. Мы можем рассматривать также фурье-преобразование пробных
функций из 3), каждая из которых обращается в нуль вне конечного
интервала.
§ 4. ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
261
Соответствующие фурье-образы этих функций, определенные согласно (8.145),
не могут также обращаться в нуль вне конечного интервала (поскольку
являются граничными значениями целых функций). Следовательно, образуемое
ими пространство (обозначаемое символом 39) не имеет с пространством 39
ни одной общей функции, за исключением нулевой функции f(x) = f(y)= 0.
Следует отметить, однако, что так как 2) является подпространством по
отношению к 9то то же самое относится к пространству фурье-образов X.
Распределения в 39 [например, ехр(-'А^2)] могут быть также
распределениями и в ?, но поскольку пространства различны, то так будет,
вообще говоря, не всегда. Тем не менее каждое распределение ф в ?
получается путем фурье-преобразования распределения ср в 39 с помощью
тождества ф{П = фШ Для всех f (х) из 39- На основе этого процесса можно
ввести новые распределения, однако они полностью определены своими
значениями на своем собственном пространстве пробных функций X (даже если
их и нельзя определить на 39). Подчеркнем еще раз, что распределения
характеризуются тем классом пробных функций, на котором они определены.
Как уже отмечалось, обычно распределения определяются не через значения
их функционалов (и соответствующих интегралов), а скорее, скажем, с
помощью последовательности функций. В некоторых случаях даже
затруднительно наглядно представить себе распределение в виде функции.
Например, хотя функция Ь"{х) равна нулю при х ф 0, невозможно указать ее
значение при х = 0. Еще труднее наглядно представить себе распределение
на X, являющееся фурье-образом от ехр(х2). Этот пример лишний раз
показывает, насколько полезно определять распределения
последовательностями настоящих наглядных и интегрируемых функций. Все
наши распределения могут быть определены с помощью последовательностей, и
именно таким способом мы будем пользоваться для придания различным
распределениям точного смысла.
Приложение к "диагональным" представлениям. Характер функции Т(р,д) [см.
(8.139)] зависит от конкрет-
262
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
ного вида оператора Т. Если Т - ограниченный оператор, то Т(р, q)-
ограниченная непрерывная бесконечно дифференцируемая функция. Особый
интерес представляют для нас те случаи, когда Т - оператор с конечной
следовой нормой (это включает случай матрицы плотности). Любой такой
оператор может быть записан в канонической форме (5.18). В частности, для
этих операторов
Т (Р, q) = (p, q\T\p, q) =
оо
= 2 Р/ (Р, q |Ац) (Ф/Ip, q), (8.146)
/=i
где P; - некоторая абсолютно суммируемая последовательность, а \Х/) и -
ортонормированные базисы. Для таких операторов из неравенства Шварца в
непрерывном представлении вытекает, что
J | Т (р, q) | d\i < | ру | J | (p, q | kj) | p,
9)|dp <
/=i
CO
<>j[P/l-l|71,<oo. (8.147)
/-i
Следовательно, фурье-образ - функция T (x, k) -является непрерывной
ограниченной (величиной ||7'1Ь) функцией для каждого оператора с конечной
следовой нормой. Отсюда получаем, что
ф(дг, fc) == f (дг, к) ехр [ gj (х2 + k2)j (8.148)
является непрерывной функцией для каждого оператора с конечной следовой
нормой. Существует верхняя граница этой функции
| ф (х, k) I < || Т |!, e^2+k2>i2h. (8.149а)
В действительности, как будет показано ниже,
| ф (х, k) |< || Т ||, (8.1496)
Ясно, что все такие функции ф(х, k) определяют распределения на 2)2 -
пространстве функций f{x,k) двух пе-
§ 4. ОПТИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 263
ременных; эти функции бесконечно дифференцируемы и равны нулю вне
