Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
тому, как это было сделано в связи с формулой (7.153)], получаем
Р{т, T + t, t) =
= J Ф {{zx (k)}) P(m, T + t, 11 К (k)}) d\i ({г^ (k)}) =
T + t
a | A<_') (f) ¦ A(+> (t') dt'
ml
X
X exp
T + t
-a | A(_) (t') • A(+> {t') dt'
(8.123)
что и представляет собой искомое решение. В действительности, так же как
и в случае одной моды, любую матрицу плотности р можно представить в виде
(8.122) в смысле теории распределений, о чем подробнее будет сказано
ниже. Следовательно, (8.123) представляет собой искомое распределение
отсчетов для точечного счетчика и произвольного состояния р. Далее,
производящая функция имеет вид
оо
Q(X, Т + t, t) = 2 О - %)m P(m, Т + t, t) =
m-0
=/:exp
T + t
-XaJ A'"' (Г) • \(+)(t')dt'
•\
(8.124)
Распределенные детекторы. Рассмотрим теперь распределенный счетчик,
который чувствителен в какой-то области пространства и времени. Для
начала предположим, что можно рассматривать простой адмитанс
252 ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
S*(r, t), который определяет относительную амплитуду и фазу вклада,
вносимого полем. Это просто означает, что эффективное поле, входящее в
выражения для скорости я-фотонных отсчетов, имеет вид
А'+)(0= j S* (г, *'-*,)• А(г+)(г, t^tfrdt,. (8.125)
В дополнение к этому можно также предположить, что специфические свойства
S* не поддаются точному контролю, так что следует усреднить по различным
возможным адмитансам. Для однофотонной скорости счета отсюда следует, что
величину a(A!~\r, t') - A<+)(r, t')) необходимо заменить величиной общего
вида
2 а (А(Д> (г, t') ¦ А(е+) (г, П> = а(А(_) • Y • А<+)), (8.126)
где суммирование производится по подходящим S' и введено сокращенное
обозначение
А<-> • Y • А(+) ^ J А(-> (г,, h) - Y (гь tr - r2, V - /2) -
• A(+>(r2, t2) dsr[dir2 dti dt2. (8.127)
Здесь тензор Y представляет пространственные и временные спектральные
свойства детектора. Практически наиболее важной идеализацией является
случай, когда
Y = а (г,) б (г, - г2) б (Г - *,) б (t' - t2), (8.128)
где cr(r)-относительная плотность детектирующих атомов; она равна нулю
вне детектора. В этом случае имеем просто
А(_) • Y • А(+) = [ А(_) (г, t') • Аж (г, t') а (г) dh. (8.129)
Для когерентного состояния п-фотонные скорости отсчетов по-прежнему могут
быть представлены в виде произведения элементарных скоростей
a<Af_) • Y • А(+)> = aV' • Y • V =
= a J V* (г!, tx) • Y (r,, t' -t^, r2, t' - t2) ¦ V (r2, t2) X
X d+idsr2dtidt2. (8.130)
§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФОТООТСЧЕТОВ 253
Отсюда следует, что распределение отсчетов этого "Y-детектора" для
когерентного состояния определяется вместо (8.121) выражением
Ру(т, T + t, 11 fa (k)}) =
( т + t 1""
af (V.Y.V)tf' T+t
= " Ш -exp J-aJ (V*-Y-V) dt'\. (8.131)
Тем не менее можно по-прежнему представить произвольную матрицу р в виде
(8.122); тогда получаем, что для Y-детектора и состояния р
PY{m, T + t, t) =
= J ф {{zk (k)}) PY (m, T + t, t \ {zx (k)}) d\i ({2^ (k)}) =
I T + t \m
la j" A*"*-Y-A(+* dt' 1 T+t
= {'¦- Si LexpJ-aJ A'-'-Y-A1*'*'}:).
(8.132)
Модифицированная производящая функция, очевидно, имеет вид
оо
Qy(l, T + t, t)= 21 (i-k)mPy(k, T + t, t) =
m=0
f T + t )
= (:exp|-A,aJ [А("'.У- \{+]}dt' j (8.133)
Резюмируя, можно сказать, что, каковы бы ни были спектральные свойства
детектора, распределения отсчетов являются по существу взвешенными
распределениями Пуассона с весовой функцией rp({z?i(k)}), описывающей
состояние р, и совершенно не зависят от свойств счетчика.
Случай нескольких детекторов. Обобщим полученные результаты на случай
нескольких счетчиков, расположенных в различных местах. Для получения
этого
254
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
результата заметим снова, что для когерентного состояния отсчеты в разные
моменты времени и в разных точках статистически независимы. Для такого
состояния совместная вероятность того, что q-й счетчик (q - 1, 2, ...
..., Q) зарегистрирует mq отсчетов за отрезок времени от tq до x.j = tg +
Тд, равна
Р (ш, т, t I {zk (k)}) =3
..., mQ\ Tj, ..., t0; tu ..., I {z*, (k)}) =
= 11 PyQ (mq, т , tq | {zk (k)}), (8.134)
где последние выражения определены в (8.131). Следовательно, совместное
распределение отсчетов для произвольного состояния имеет вид
Р{ш, т, t)= | ф ({гДк)}) Р (ш, т, (|{2Дк)})сГр({гДк)}).
(8.135)
Выражения для Р(ш,т, t) и для соответствующей производящей функции Q(k,
т, t) в виде средних от нормально упорядоченных операторов очевидны, и мы
их не выписываем. В последней главе мы еще будем иметь возможность
обсудить совместные распределения отсчетов для некоторых случаев,
представляющих экспериментальный интерес.
Свойства в случае бесконечного объема квантования. В заключение остается
выяснить еще одну проблему, относящуюся ко всем рассмотренным
распределениям отсчетов. Приведенные выше результаты все еще зависят
неявным образом от величины объема квантования через их зависимость от
параметра L. Мы уже видели, что некоторые распределения (для единственной
нормальной моды) имели смысл лишь при временах, меньших чем 2ojL3/(txfi).
