Основы квантовой оптики - Клаудер Дж.
Скачать (прямая ссылка):
когерентного состояния p = |z)(z|.
Так как для когерентного состояния отсчеты в разных временных интервалах
статистически независимы,
248 ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
можно просто привести результаты вычислений гл. 2 для элементарной
скорости л{\) - dp(t)jdt, а именно
= а0 (afa) = а0 (z | а+а | z) = а01 2 |2. (8.112)
В частности, получаем, что распределение отсчетов [ср.
(2.2)] имеет вид
P(rn, T\z)= (^r--f|2r-exp(-a0rizp). (8.113)
Это есть распределение Пуассона со средним значением m = aoT\z\2, и оно
справедливо при всех Т. Мы добавили индекс z, чтобы помнить, что имеем
дело с когерентным состоянием.
Если воспользоваться общим соотношением (7.105) для диагональных
матричных элементов упорядоченных операторов, то можно написать
Р (m, T\z) = (z |: а°7- - ехр (- a0Tafa) : | z) =
= Sp 11 2) (2 | : ехр (- а0Тafa) : |. (8.114)
Для тех матриц плотности, которые могут быть запи-
саны в виде нормированной линейной суперпозиции операторов проектирования
на когерентные состояния:
[ q>(z)lz)(zld2z, (8.115)
распределение отсчетов в соответствии с (8.100) можно получить
непосредственно из формулы
Р (m, Т) = ¦- J ф (z) Р (m, Т | z) d2z =
= Sp jр ; ехр (- a07a+a) : J =
= ( : ~о7^Г~ ехР (~ аотa+a) : ) • (8.116)
Если <p(z) есть обычная плотность вероятности, то определенное таким
образом распределение Р(пг,Т) с необходимостью будет настоящим
распределением при
всех Т,
§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФОТООТСЧЕТОВ
249
Ниже мы познакомимся с замечательным результатом (являющимся точным в
смысле теории распределений); он состоит в том, что всякую матрицу
плотности р можно записать в "диагональном" представлении
(8.115) по когерентным состояниям. Совершенно очевидно, что весовая
функция ср не может всегда быть положительной, так как иначе нельзя было
бы построить матрицу плотности любых чистых состояний, за исключением
когерентных. Необходимость отрицательных значений весовой функции видна
также из того факта, что в противном случае распределения отсчетов Р(т,
Т) были бы для произвольного состояния настоящими распределениями при
всех Т, а мы уже приводили контрпримеры, показывающие, что это не так
[см., например, (8.106)].
Следует подчеркнуть, что такие отрицательные весовые функции не приводят
к каким-либо трудностям до тех пор, пока не нарушены основные правила.
Поясним роль отрицательных весовых функций на простом примере.
Предположим, что Pz{n) и Р$(п) являются настоящими распределениями
вероятности; тогда такой же является и их взвешенная сумма />,(") =
|/2^>2(") + + Ч2Р3(п). Следовательно, соотношение
о
Р3(п)^2Р1(п)~ Р2(п)= 2ф"Р" (8.117)
а=1
определяет настоящее распределение вероятности и включает нормированную
(2фа = О линейную комбинацию весовых функций с отрицательными членами.
Все свойства Рг(п) можно вывести из (8.117). В частности, моменты равны
(пр)3 = 2 Фа (пр)а и т- Д-
Стоит отметить, что "диагональное" представление
(8.115) для р приводит к выражению для квантовых распределений отсчетов
[первая строка в (8.116)], которое формально совпадает с выражением,
получающимся при стандартном классическом вычислении этого распределения.
В этой формальной связи весовая функция Ф(z) является аналогом
классического распределения. Мы увидим, что эта аналогия может быть
плодотворно использована во многих приложениях.
250
ГЛ. 8. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Б. Распределения отсчетов для поля излучения
Точечные детекторы. Руководствуясь рассмотрением, проведенным для одной
моды, не представляет большого труда определить распределение отсчетов
для поля излучения. Рассмотрим вначале счетчик, чувствительность которого
локализована в точке х пространства и одинакова для всех поляризаций.
Тогда, согласно (8.9), скорость счета для совместного наблюдения п
фотонов в точке г в моменты /ь i2, ..., tn дается выражением
Здесь мы опустили общую переменную г и не выписали явно векторные индексы
для А. Предположим, что эту скорость можно представить в виде
произведения
для всех п и всех временных аргументов. В действительности это есть
просто свойство когерентного состояния поля излучения, для которого р =
l{zx(k)})({zx(k)}|. В таком состоянии отсчеты в отдельных временных
интервалах статистически независимы; кроме того, в обозначениях (7.181а)
элементарная скорость счета имеет вид
a <A(-> (0 • А(+) (0) = а <{ZjL (к)} | А(_) (*) • А(+) (t) | {гх (к)}) =
= aV'(t)- V(0 = a| V(0P. (8.120)
Следовательно, здесь снова применимы те соображения, которые были
использованы в гл. 2 для вывода пуас-соновской статистики, и для
когерентного состояния находим
a 2 (8.118)
Поляпиз. 'k=i 1=1
Поляриз. 'k=i
п
- II {a<A(_>(^fc) • А<+)(^))} (8.119)
п
P(m, T + t, 11 {z% (k)" =
§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФОТООТСЧЕТОВ
251
Это распределение, разумеется, не обязательно должно быть стационарным
(не зависящим от t).
Для тех матриц плотности, которые можно представить как линейные
суперпозиции вида
Р = j <Р (К (k)}) IК (к)}) ({zk (к)} | d\i ({гл (к)}) (8,122)
[ниже мы придадим этому утверждению точный смысл, примерно аналогично
