Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
/ (е = р) = ехр [(е _ + ] = Т+Т = Т'
Орбитали с меньшей энергией заполнены больше чем наполовину, а орбитали с
большей энергией заполнены менее чем наполовину.
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ - ДИРАКА
123
В гл. 14 мы обсудим физические следствия распределения Ферми - Дирака.
Сейчас же мы продолжим обсуждение статистической механики
невзаимодействующих бозонов, а затем в гл. 11 установим в соответствующем
приближении закон идеального газа как для бозонов, так и для фермионов.
Задача 9.1. Производная функции Ферми - Дирака.
а. Показать, что -df/de, вычисленная для уровня Ферми е = р, равна
(4?БГ)-1. Иными словами, чем ниже температура, тем круче график функции
Ферми - Дирака.
б. Тщательно построить график зависимости -df/de от ц/kg для случая р/АБ
= 5-104 К и Т = 5- Юг К или т =
= 0,01ц. Этот график указывает на наличие ограниченной области энергии, в
которой сосуществуют заполненные и свободные состояния для значений р,
характерных для металла.
Задача 9.2. Симметрия заполненных и свободных орбиталей. Пусть е =
= р + б. Показать, что
/ (6) = 1 - / (- б). (7)
Иными словами, вероятность того, что орбиталь, лежащая на б выше уровня
Ферми, заполнена, равна вероятности того, что орбиталь, лежащая на б ниже
уровня Ферми, свободна. Свободную орбиталь иногда называют дыркой.
Задача 9.3. Функция распределения в случае сильного электрон-электрон-
ного отталкивания. Рассмотрим систему, имеющую две орбитали с одинаковыми
энергиями. Когда обе орбитали свободны, энергия системы равна нулю. Когда
одна из них занята одним электроном, энергия равна е. Допустим, что при
обеих занятых орбиталях энергия системы значительно больше, скажем,
бесконечно велика.
а. Показать, что большая сумма равна
SC = 1 + 2Я ехр (- е/т). (8)
б. Показать, что среднее по ансамблю число электронов на уровне с данной
энергией равно
1_______________________
~ '/г ехр [(е - р)/т) + 1
Такое положение возникает при ионизации примесных атомов в
полупроводниках [8].
Задача 9.4. Функция распределения для статистики с парной заселенностью.
Представим себе новую механику, в которой допустимые заселенности
орбиталей равны 0, 1 и 2. Допустим, что значения энергии, связанные с
этими заселенностями, равны 0, е и 2е соответственно.
а. Вывести выражение для средней по ансамблю заселенности (п), когда
система, состоящая из такой орбитали, находится в тепловом и диффузионном
контакте с резервуаром с температурой т и химическим потенциалом р.
Рис. 9.4. Наглядное представление системы, состоящей из независимых
орбиталей, которые не взаимодействуют друг с другом, но взаимодействуют с
общим резервуаром.
124
ГЛ. 9. ФЕРМИОНЫ И БОЗОНЫ. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
б. В рамках обычной квантовой механики вывести выражение для средней
по ансамблю заселенности двукратно вырожденного энергетического уровня
(две орбитали имеют одинаковую энергию е). Если обе орбитали заняты, то
полная энергия равна 2е. Найденная величина заселенности отличается от
решений задачи 9,4а и задачи 9.3.
Бозоны
Как мы видели, орбиталь может быть занята не более чем одним фермионом
данного вида. Напомним, что фермион есть частица с полуцелым значением
спина, измеренным в едини-
Бозоном называется частица с целым значением спина, и в отличие от
фермионов орбиталь может быть занята любым числом бозонов. Таким образом,
свойства бозонов существенно отличны от свойств фермионов. Поэтому и
система бозонов может иметь физические свойства, совершенно отличные от
свойств системы фермионов. Так, атомы Не4 - бозоны; атомы Не3 - фермионы.
Замечательное свойство низкотемпературной (Г < 2, 17 К) фазы жидкого
гелия - сверхтекучесть - можно объяснить свойствами бозонного газа. Ниже
этой температуры происходит резкое уменьшение вязкости и увеличение
теплопроводности жидкого Не4 (рис. 9.5). Но никакая сверхтекучесть*)
никогда не наблюдалась в жидком Не3. В опытах П. Л. Капицы было
обнаружено, что вязкость Не4 при температуре ниже 2,17 К составляет менее
10~7 от вязкости этой жидкости выше 2,17 К.
Другим примером бозонов являются фотоны (кванты электромагнитного поля) и
фононы (кванты упругих колебаний в твердых телах). Их тепловые свойства
совершенно отличны от свойств фермионов. Эти два класса бозонов
представляют особый интерес для рассмотрения.
*) В последнее время, по-видимому, при Т я/ 0,002 К обнаружена
сверхтекучесть Не3, обусловленная спариванием двух атомов Не3. Такая пара
может уже рассматриваться как бозон [42*]. (Прим. ред.)
цах Ь. Займемся теперь бозонами.
т, к
Рис. 9.5. Сравнение графиков зависимостей скоростей истечения жидкого Не3
и жидкого Не4 через маленькое отверстие под действием силы тяжести.
Обратить внимание на внезапное возникновение высокой текучести, или
сверхтекучести. Не4. Отсутствие сверхтекучести в HeJ было проверено до
температуры 0,1 К, что указывает на важность различия между бозонами и
фер-мнонами 141] (см, примечание.)
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗОЗЕ - ЭЙНШТЕЙНА
125
В данной главе и в гл. 17 мы рассмотрим бозоны, число которых постоянно в
