Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Киттель Ч. -> "Статистическая термодинамика" -> 53

Статистическая термодинамика - Киттель Ч.

Киттель Ч. Статистическая термодинамика — Москва, 1977. — 336 c.
Скачать (прямая ссылка): statisticheskayatermodinamika1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 121 >> Следующая

рис. 11.1.
Каков физический смысл квантового объема? Величина Мх имеет размерность
[масса]-[энергия] = [масса-скорость]2 = [импульс]2. Согласно гипотезе де
Бройля квантовая длина волны, соответствующая частице с импульсом р,
равна 2лй/д, и, значит, (2лй2/Мт)3/г есть третья степень длины волны.
Ниже мы покажем, что т равно по порядку величины кинетической энергии
р2/2М атома идеального газа. Таким образом,
(р2) " 2Мт
и в грубом приближении
(дДур ^ тепловое среднее длины волны. (13)
Куб этой величины с точностью до численного множителя равен объему Vq,
связанному с квантовой длиной волны, соответствующей частице.
Квантовый объем играет важную роль в задачах
о свободных частицах, а также в химических реакциях. Vq яв-
ляется фундаментальной величиной в статистической термодинамике.
Концентрация с есть число атомов, деленное на занимаемый ими объем, т. е.
с == N/V. (14)
138
ГЛ. II. ОДНОАТОМНЫЙ ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
Пользуясь соотношением (И), можно представить Я в виде
/ I \ N ( 2лН2 у/*
'= ехр(р/т) = у J =с
<?¦
(15)
Выражение для абсолютной активности идеального одноатомного газа Я = cVq
компактно по форме, полезно и легко запоминается. Активность равна
концентрации, умноженной на квантовый объем. Это справедливо только при Я
<С 1 или ехр (р/т) <С 1,
гак что в классическом режиме величина химического потенциала должна быть
отрицательной и меньшей, чем -т.
Интегрирование в (6) было проведено с использованием (7), где е было
выражено через га2. Таким образом, в основе (15) лежит энергетическая
шкала, где энергия низшей орбитали (га=1) равна нулю или очень близка к
нему. Ниже в (74) выбирается другое начало отсчета.
Классическая функция распределения запишется теперь в виде / (е) - °Vq
ехр (- е/т). (16)
Заселенность будет значительно меньше единицы, если
10 100 Температура; К
1000
Рис. 11.1. Зависимость квантового объема от температуры для нескольких
значений молекулярного веса.
Здесь
5,32-Ю-21
V =------------TJT см',
Q [(MB) (T)i h
где MB - молекулярный вес, а Т - температура в градусах Кельвина. Точки
показывают атомные объемы V . = VIN для жидкого Не4 и А
жидкого Ne в их точках кипения при давлении 1 атм. Для неона в точке
кипения V^ н°
для гелия V^.
cV0<l,
(17)
г. е. если среднее число атомов в квантовом объеме значительно меньше
единицы. Неравенство (17), а, следовательно, и закон идеального газа
нарушаются при высоких концентрациях, низких температурах и малом
молекулярном весе.
На рис. 11.1 был приведен график зависимости Vq от температуры для
некоторых значений атомного веса. Для газа при комнатной температуре и
атмосферном давлении концентрация равняется по порядку величины 3-1019
атом/см3. Оцепим значение квантового объема для гелия
2\У, г 6-Ю-54
V,
/ 2nh2 V1
¦ \ Mr )
Г___________________
L (6- IQ-24) (4 • 10
-14)]
10
"25 см3;
ЭНЕРГИЯ
139
отсюда получаем, что при комнатной температуре и атмосферном давлении cVQ
" 10~6. Эта величина много меньше единицы, и, следовательно, газ
находится в классическом режиме. В классическом режиме, безусловно,
находится и окружающая нас атмосфера.
В соответствии с определением X химический потенциал равен р = т1пХ.
Учитывая
(15), получаем для химического потенциала одноатомного идеального газа
соотношение
р/т = In cVQ - In с + In =
= ln {N/V)-\-3/2 In {2nh2/Mx). (18)
Для гелия этот результат
представлен графически на рис. 11.2.
Отметим, что большие значения концентрации означают большие значения
химического потенциала: выражение для р содержит логарифм концентрации.
Такая зависимость от концентрации интуйтивно кажется вполне естественной.
Большой химический потенциал связан с большой концентрацией, и частицы
стремятся двигаться из областей с высокой концентрацией в области с
низкой концентрацией.
Энергия
Полная энергия идеального газа равна
^ = Z (ег) = А, 2 ez ехр (- е,/т), (19)
i (
но мы вычислим ее другим способом*). Статистическая сумма *) Прямым
расчетом находим для полной энергии выражение
ОО
U = 1/2пХ ^ dn п2в ехр (- е/т). (19а)
о
Вводя, как ив (9), замену х2 = Ji2ft2ra2/2ML2T, получаем
ОО
("2*2 s-3/г Г
~2мТ2т J J dx xi ехр (- *2)' *196)
о
где согласно (2.49) определенный интеграл равен 3/8 . Подставляя
те-
перь N = VX/Vq, находим окончательно U = 3hNr.
Рис. 11.2. Химический потенциал Не4 при 300 К в приближении идеального
газа.
140
гл. п. одноатомныи идеальный газ
для одного атома имеет вид
Z = ? ехр (- е^т) = '/2п ^ dn пг ехр [- (hnn)2/2ML2x]. (20)
i ' о
Используя новую переменную,
й яп 1
L (2Мт)1/2 '
получаем
оо
Z = т3/г '/г11 (2М)1'2 {L/hnf ^ dxx2 ехр (- х2) = const • xh. (21)
о
Учитывая соотношение (6.36), найдем отсюда выражение для полной энергии в
виде
U - т2 In Z,
дт '
или
U = x2 -Jjr (In т3/г + const). (22)
Отсюда следует, что полная энергия идеального газа в расчете на один атом
равна
С/ = 3/2т.
(23)
Этот результат служит иллюстрацией знаменитого утверждения, известного
как закон равного распределения энергии: средняя кинетическая энергия
Предыдущая << 1 .. 47 48 49 50 51 52 < 53 > 54 55 56 57 58 59 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed