Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
sin(- nxnx/L) - - sin{nxnx/L). (19)
Знак минус в правой части равенства эквивалентен изменению знака
константы С. В соответствии с (8) только |С| имеет физический смысл, так
что орбиталь с -пх идентична орбитали с пх.
Подставляя величину фя в (17), находим, что энергия электрона на орбитали
с п равна
" = ш(т-У- <20>
где
_______________n2 = nl + nl + nl. (21)
*) Согласно квантовой механике фермионные волновые функции должны быть
антисимметричными, т. е. должны менять знак при перестановке частиц а и
Ь. Основное состояние двух фермионов записывается в виде
*о (v хь) = y (sin Git)sin ("?")) ~W ~ Рл)' (1ба)
Для заселенностей орбиталей имеем я^ = I и = 1; заселенности всех других
орбиталей равны нулю. В пособиях по квантовой механике показывается, что
требование антисимметрии эквивалентно принципу Паули, т. е. я; должно
равняться либо нулю, либо единице.
5*
132 ГЛ. 10. СВОБОДНЫЕ ЧАСТИЦЫ. ПОДСЧЕТ ЧИСЛА ОРБИТАЛЕП
Подсчет числа орбиталей *)
Если не учитывать спин, то число орбиталей со значением квантового числа
п, меньшим некоторого фиксированного п0, очень близко по величине объему
октанта, т. е. Vs части сферы с радиусом "о в пространстве пх, пу, nz
(рис. 10.2). Октант получается из-за того, что независимым орбиталям
соответствуют только положительные целые числа. Связь же с объемом
возникает потому, что плотность целых чисел в пространстве, определяемом
числами пх, пу, nz, равна единице.
В разрешенном октанте число орбиталей внутри некоторого радиуса п равно
У = (22)
Здесь у обозначает число независимых ориентаций спина при данном значении
пх, пу, nz. Каждая ориентация спина при определенном п соответствует
отдельной орбитдли. Из квантовой механики мы зна?м, что для частицы со
спином / число ориентаций снина у = 2/+1. Для электрона / = V2 и
Y = 2.
В дальнейшем нам потребуется выражение для числа орбиталей в интервале Дп
в окрестности п, где п - величина квантового числа п == пх, пу, пг.
Это число равно Дп от (22):
Ап Ж С/бУЯД3) = 'hynn- Дм. (23)
Уравнения (22) и (23) являются приближенными, но они асимптотически
справедливы при возрастании объема сферы в п-пространстве. Для малых сфер
поправки были рассмотрены Морзом и Болтом в связи с рассмотрением
звуковых волн в помещениях [43, 44]. Можно показать, что результат (23)
не зависит от формы рассматриваемого объема при условии, что максимальные
его размеры намного больше средней длины волны, соответствующей
интересующей нас орбитали.
*) Этот раздел особенно важен для многих случаев использования функций
распределения Ферми - Дирака и Бозе - Эйнштейна.
Рис. 10.2. Положительный октант сферы в пространстве, определяемом
квантовыми числами орбиталей свободной частицы nx,tiy, пг. С каждым
единичным объемом &пх Any Anz - ! связана одна
орбиталь (для каждой спиновой ориентации). Допустимы только положительные
значения nv. п", х и
nz\ отрицательные их значения не дают независимых состояний. Энергия
орбитали на поверхности сферы с радиусом в я-про-страндгве равна (h2/2M)
{nn^L)2 - - е0 (дтя частицы в ящике со стороной L). Число орбиталей з
разрешенном октанте сферического слоя толщиной Ап равно без учета
спинового множителя 'Mxm2 Ап.
ПОДСЧЕТ ЧИСЛА ОРБИТАЛЕИ
133
Задача 10.1. Фермионный газ в основном состоянии. Рассмотреть основное
состояние системы N свободных электронов в объеме V. Показать, что
кинетическая энергия системы равна
3 Й2 / 3zi2N V/s
= 7о "йГ ) ¦
Задача 10.2. Орбитали частиц внутри прямоугольного параллелепипеда.
Рассмотреть частицу, заключенную внутри прямоугольного параллелепипеда со
сторонами а, Ь, с, причем а = Ь = г\с. Показать, что энергия орбитали
¦определяется выражением
я2Й2 / 9 , 9 I ? 2Х
'"=2mVvv("' + "*
где М - масса частицы, V - объем, пх, пу, пг - положительные целые числа.
Для длинной трубки квадратного сечения г] -С 1, для квадратного "блина"
Г] > 1.
Глава 11 ОДНОАТОМНЫЙ ИДЕАЛЬНЫЙ ГАЗ
Классический режим
Классический режим для газа определяется теми значениями температуры и
плотности, при которых среднее число атомов на любой орбитали значительно
меньше единицы. Газ при комнатной температуре и атмосферном давлении
находится во вполне классическом режиме. Как мы покажем ниже, в этой
области равновесные свойства фермионов и бозонов одинаковы.
Квантовый режим противоположен классическому: в квантовом режиме
заселенность орбитали может быть сравнима с единицей или даже превышать
ее. В таком режиме свойства фер-мионного и бозонного газов резко
различны, так как для фермионов максимальная заселенность орбиталей равна
единице, тогда как для бозонов она не ограничена. Ниже приводятся
соответствующие данные для частиц обоих типов.
Режим Тип частиц Заселенности орбитали
Классический Фермион \ Бозон J Все значения п (е) •< 1
Квантовый Фермион га (е) 1 для N орбиталей
Бозон га(е)^-1 Для орбиталей с наименьшей
энергией
Идеальный газ определяется как система свободных невзаимодействующих
атомов, находящихся в классическом режиме. Под свободными мы понимаем
