Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
системе с резервуаром. В качестве примера укажем на замкнутый сосуд,
содержащий атомы Не4. В гл. 15 и 16 мы рассмотрим фотоны и фононы, число
которых может меняться даже в замкнутом сосуде или в изолированном
образце. Например, число фотонсз в замкнутой полости возрастает при
увеличении ее температуры.
Функция распределения Бозе - Эйнштейна
Рассмотрим функцию распределения для системы невзаимодействующих бозонов.
Пусть система находится в тепловом и диффузионном контакте с резервуаром.
При рассмотрении бозонов мы будем обозначать энергию одной орбитали,
занятой одной частицей, через е. Если на орбитали п частиц, то энергия
равна пг (рис. 9.6).
Будем рассматривать одну орбиталь в качестве системы.
Всеми остальными орбиталями можно пренебречь или рассматривать их как
часть резервуара. Поскольку мы имеем дело с бозонами, то на эту орбиталь
можно поместить любое число частиц. Большая сумма для нее равна
оо
SC = X ехР (- пг/х) =
оо
= X (Аехр(- е/т))". (10)
я-0
Верхний предел для п должен был бы равняться полному числу частиц в
системе вместе с резервуаром, и так как мы вправе считать резервуар очень
большим, то с высокой точностью суммирование по п можно проводить от нуля
до бесконечности. Проводя суммирование и вводя обозначение *г=Лехр(-е/т),
получаем при условии Лехр(-е/т)< 1
оо
=, yv = = -_L_- (11)
l-t I - х 1 - А, ехр (- е/т) ' '
п=о
Для всех приложений величина Аехр(-е/т) удовлетворяет этому условию, так
как иначе число бозонов в системе нельзя было
/7=4
п=3
п=2
4s
п=0
п~ /
"Т~
е
Зв
2s
Рис. 9.6. Схема энергетических уровней невзаимодействующих бозонов. 8 -
энергия орбитали, занятой одной частицей, пъ-энергия той же орбитали,
занятой п частицами. Ту же орбиталь может занимать любое число бозонов.
Наинизшни уровень, соответствующий этой орбитали, вносит в большую сумму
вклад, равный единице; следующий уровень дает вклад Я, ехр (-е/т), затем
А,2 ехр {-is т), Я.3 ехр ( - Зе/т) н т. д. Бзльшая сумма равна 2 г= I + X
ехр ( - е/т) + X4 ехр ( - 28/т) + ...
126 гл- 9- ФЕРМИОНЫ И БОЗОНЫ. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
бы считать неограниченным (из-за расходимости геометрической прогрессии
(11)).
Среднее по ансамблю *) число частиц на орбитали равно по определению
среднего значения и с учетом (11)
Рис. 9.7. Сравнение функций распределения Бозе - Эйнштейна и Ферми -
Дирака.
Классический режим наступает при (е-ц)/т" I, когда оба распределения
примерно совпадают. В дальнейшем мы увидим, что в случае вырождения при
низких температурах химический потенциал для распределения Ферми-Дирака
положителен. Он становится отрицательным при высоких температурах.
Химический потенциал для распределения Бозе-Эйнштейна всегда отрицателен,
если нулевая энергия выбрана совпадающей с энергией самой низкой
орбитали.
?пхп <п(е)> = ^-
5>"
л= О
л"* О
?
л-О
-I
-I
(1-*)
(12)
Выполняя дифференцирование, получаем
(п (в)) =
1
х~ - 1
1
X ехр (е/т) - 1
. (13)
или, записывая п(е) вместо (п(е)),
п{е)
1
1
X ехр (е/т) - 1 ехр [(е - |х)/т] - 1
(14)
Это соотношение определяет функцию распределения Бозе - Эйнштейна.
Математически она отличается от функции распределения Ферми - Дирака
только наличием в знаменателе -1 вместо +1. Как мы увидим ниже, это
различие может иметь важные физические последствия. Обе функции
распределения
*) Можно воспользоваться (6.30) для вывода выражения для л(е) более
коротким путем:
(п (е)> = X - in Z = - х - In (1 - х) =-- =-----------------------:----!-
---------.
дХ dx 1 - х X ехр (е/т) - 1
ВЫВОД ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ - ДИРАКА
127
сравниваются на рис. 9.7. Вскоре мы перейдем к рассмотрению идеального
газа, для которого в предельном случае *) е - р т обе функции
распределения приблизительно равны.
Величина п(е) называется заселенностью орбитали. Для бозонов я(е) не
совпадает с вероятностью того, что какая-то орбиталь заселена. Для
фермионов заселенность и вероятность заселенности совпадают, так как
орбиталь либо может быть незаселенной, либо на ней будет находиться одна
частица.
Заключение. Вывод функции распределения Ферми-Дирака
*) Следует иметь в виду, что выбор нулевого отсчета для энергии е всегда
произволен. Конкретный его выбор в тон или иной задаче влияет на величину
химического потенциала р. Очевидно, что значение разности е-р не зависит
от выбора нуля для е.
Глава 10
СВОБОДНЫЕ ЧАСТИЦЫ. ПОДСЧЕТ ЧИСЛА ОРБИТАЛЕЙ
Орбитали свободных частиц в одномерном случае
Рассмотрим квантовую теорию свободной частицы в одномерном пространстве.
Движение частицы с массой М ограничено длиной L вследствие наличия
бесконечно высоких барьеров (рис. 10.1). Согласно квантовой теории
частица описывается
волновой функцией фпМ, где индекс п указывает "номер" орбитали частицы.
Букву ф мы будем использовать для обозначения волновой функции одной
частицы, сохраняя ф для волновой функции системы из N частиц. Еще раз
подчеркнем, что мы будем называть ф орбиталью, а ф - состоянием, и в
дальнейшем следует четко различать эти два класса задач - задач для одной
