Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
частицы и задач для N частиц.
Волновая функция является решением уравнения Шредингера
Рис. 10.1. Три первых орбитали свободной частицы с массой М, заключенной
в одномерном пространстве на длине L.
Орбиталям приписываются квантовые числа п, которые дают число полуволн в
соответствующей волновой функции. Энергия гп уровня с квантовым числом п
равна (ft*/2M) (ян/L)2. Сплошные линии -^волновые функции (произвольная
шкала); пунктирные - энергетические уровни.
Ж<рп = е"ф",
(1)
где Ж- гамильтониан, или оператор энергии. Мы предполагаем, что Ж не
зависит от времени. Для свободной частицы "классическая энергия" Ж -
р2/2М, где р - импульс.
В соответствии с основными представлениями квантовой механики импульс р
представляется в волновом уравнении (1) оператором -ibd/dx, где Ь -
постоянная Планка к, деленная на 2л. Таким образом, оператор кинетической
энергии имеет вид
ОРБИТАЛИ СВОБОДНЫХ ЧАСТИЦ В ОДНОМЕРНОМ СЛУЧАЕ 129
р2/2М =-(Й2/2М) (d2/dx2), и уравнение Шредингера для свободной частицы
записывается в виде
й2 d2(fn
2 М dx2 -е*Чп' (2)
где Ек - энергия частицы на я-й орбитали.
Из-за бесконечного потенциального барьера при х = 0 и х = L граничные
условия требуют обращения волновой функции в нуль в этих точках:
(0) = 0; cp"(L) = 0. (3)
Эти граничные условия следуют из того, что ср*(х)ф(х) равно вероятности
найти частицу на элементе длины dx в окрестности точки х. Вероятность
найти частицу за бесконечно высоким потенциальным барьером равна нулю.
Граничные условия автоматически выполняются, если волновая функция
пропорциональна синусу, причем на длине L укладывается целое число я
полуволн, т. е.
Ф" со sin (2пх/Хп); 72A," ¦ п - L; = 21/я. (4)
Здесь Я" - длина волны. Из (4) получаем для волновой функции
<pn = Csin(-^), (5)
где С - константа, определяемая из условия (9), приводимого ниже.
С помощью подстановки в (2) этого выражения для волновой функции легко
увидеть, что она служит решением уравнения Шредингера, так как d(fn
пп\ ( плх 4 d2(fn л/яя V . / ппх N
dx Чт-)С0Ч -)' -rfP-=-c( -) Sln(ir (6)
откуда для энергии я-й орбитали е" получаем
й2 ( л л У2
е"=1ж(лг)-
Энергия является квадратичной функцией квантового числа я,
определяющегося из волновой функции (см. рис. 10.1) как число полуволн,
укладывающихся на длине L.
Выберем константу С в выражении (5) для волновой функции фп так, чтобы
вероятность найти частицу где-либо на интервале от 0 до Г равнялась
единице. Физический смысл волновой функции заключается в том, что
Ф"(*)ФП(*)^ (8>
равно вероятности обнаружить частицу на отрезке dx в окрестности точки х.
Потребуем, чтобы вероятность того, что частица
5 Ч. Киттель
130
ГЛ. 10. СВОБОДНЫЕ ЧАСТИЦЫ. ПОДСЧЕТ ЧИСЛА ОРБИТАЛЕИ
находится где-то на выбранном интервале, равнялась единице,
Интеграл от sin2 на отрезке L равен VгЬ, так что llzLCz = 1 и
нормированная волновая функция частицы в квантовом состоянии п равна
Пример. Состояния и орбитали. Из (10) вытекает, что в одномерной задаче
две орбитали с наименьшими энергиями описываются следующими волновыми
функциями:
Если частицы имеют нулевой спин, то добавлять спиновый индекс к волновой
функции не нужно. Если же частицы имеют спин 7г, то для четырех низших
орбиталей можно написать
Здесь множитель а соответствует спину, направленному вверх, а множитель р
- спину, направленному вниз.
Эти четыре соотношения описывают орбитали, и они относятся к одной
частице. Основное состояние фо бозонной системы из двух частиц с нулевым
спином в отсутствие взаимодействия для случая, когда обе частицы
находятся на орбитали с п = I, имеет вид
где ха, хь-координаты частиц а и Ь. Это состояние обладает наименьшей
энергией. В нем находятся две частицы, расположенные на наинизшей
орбитали. Одна частица с п - 1 и другая с п = 2 находятся в другом
состоянии:
т. е.
L
OJ)
о
(10)
(П)
(13)
(15)
ОРБИТАЛИ СВОБОДНЫХ ЧАСТИЦ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ
131
Выражение (16) построено так, чтобы быть симметричным*) по отношению к
взаимному обмену х" и Хь\ оно не меняет знака при этом обмене. Такая
симметрия волновой функции для бозонов следует из основ квантовой
механики.
Орбитали свободных частиц в трехмерном случае
Рассмотрим свободную частицу, заключенную в кубе с объемом L3, где L -
сторона куба. Волновую функцию орбиты ф" находят путем обобщения
уравнения (2)
- aiO == (г)>
где п обозначает тройку положительных целых чисел пх, пу, nz.
Эти числа являются квантовыми числами, наряду со спиновым квантовым
числом, которое мы часто будем опускать.
Граничное условие требует, чтобы ф" = 0 на всех гранях куба. Волновые
функции, служащие решениями волнового уравнения, имеют вид
. ( ПХПХ\ . ( пупу\ . (ПгП2\
?n = Csm^--Jsin^--J sin x- )' (18)
где, как и ранее, С - константа, подлежащая определению. Числа пх, пу,
nz--отличные от нуля целые числа, которые могут считаться положительными.
Отрицательные целые числа не обозначают новых орбиталей, а лишь
"дублируют" орбитали, помеченные положительными числами:
