Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
системы, занятые всеми N или N- 1 электронами, можно считать резервуаром.
Наша задача состоит в том, чтобы найти тепловое среднее заселенности
выбранной таким образом орбитали.
Электроны являются фермионами, и поэтому орбиталь может либо быть вообще
не заселенной, либо на ней может находиться один электрон. Другие
возможности исключаются принципом
Энергия U Энергия i'-e
дМ ${'НЦ-е)
бЩ-\ъд[Н,и) б^_,'
Рис. 9.1. К определению системы.
В качестве системы рассматривается одпа-единственная орбиталь, которая
может быть занята не более чем одним электроном. Система находится в
слабом тепловом и диффузионном контакте с резервуаром при температуре т.
Энергия занятой орбитали е может быть кинетической энергией свободного
электрона с определенной ориентацией спина, находящегося в фиксированном
объеме. Доуг 'е допустимые квантовые состояния можно рассматривать как
состояния резервуара. Резервуар содержит N частиц, если система не
занята, и N - 1 частиц, если система занята одним электроном.
Паули. Если орбиталь не заселена, то будем полагать энергию системы
равной нулю; если она заселена одним электроном, то будем ее считать
равной е.
Большая сумма находится просто: из определения большой суммы (6.20)
получаем
%= 1 + Лехр(- е/т). (1)
Первое слагаемое здесь соответствует конфигурации с заселенностью 0 и
энергией е = 0; член Хехр(-е/т) появляется, когда орбиталь занята одной
частицей, т. е. п = 1, и энергия равна е.
Тепловое среднее заселенности орбитали равно отношению члена в большой
сумме с п = 1 к сумме слагаемых с п - 0 и п - 1:
- Л ехр (-е/т) _ 1
' К}) 1 + Л ехр (- е/т) Л-1 ехр (е/х) + 1 * W
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ - ДИРАКА
121
Для средней заселенности фермионами введем общепринятое обозначение f(e),
определяемое как
f (е) = (п (е)).
(3)
Напомним, что К = ехр (р/т), где р- химический потенциал. Теперь можно
переписать (2) в общепринятой форме
")
Эта формула известна как функция распределения Ферми - Диракег*).
Соотношение (4) дает среднее число ферм иолов на
Сиапш
^Резервуар
Рис. 9.2. К рассмотрению системы невзаимодействующих частиц.
о. Каждый энергетически# уровень соответствует орбитали и описывается
решением одночастичного уравнения Шредингера. Полная энергия системы
равна
(r)полн"2 niRi'
i
где п?-число частиц на i-й орбитали с энергией е^. Для фермионэв или
1. б. При
более простом, чем в а, но столь же строгом рассмотрении одиа-
единетвенная орбиталь считается системой. При таком подходе системой
может служить l-я орбиталь с энергией е^. Все другие орбитали
рассматриваются как резервуар. Полная энергия такой системы, состоящей из
одной-единственной орбитали, равна где - число частиц
на / й орбитали. Это возможно потому, что, по предположению, частицы
взаимодействуют друг с другом очень слабо. Если мы связываем с /-Й
орбиталью фермионную систему, то существуют две возможности: либо система
имеет 0 частиц и нулевую энергию, либо система имеет 1 частицу и обладает
энергией е^. Таким образом, большая сумма состоит всего лишь иэ двух
слагаемых:
2 = 1 + k ехр
Первое слагаемое соответствует заселенности я""0, а второе - Я/ = 1.
одной орбитали с энергией е. Значение f всегда находится между нулем и
единицей. Для конкретных значений параметров р
*) Она была получена независимо Э. Ферми [39] и П. Дираком [40]. Оба
автора опирались на статью Паули за предшествующий год, в которой было
сформулировано правило запрета. Работа Дирака посвящена новой квантовой
механике и содержит обобщение принципа Паули для этой теории.
.22
ГЛ. 9. ФЕРМИОНЫ И БОЗОНЫ. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
и г функция распределения Ферми - Дирака представлена графически на рис.
9.3.
В физике твердого тела химический потенциал р часто называют уровнем
Ферми, обычно он зависит от температуры. Значение р при нулевой
температуре часто обозначают через е(r):
р (т = 0) = р (0) == еф. (5)
Величину 6ф называют энергией Ферми.
1,0 т
ОМ
0,3
0,4
0,2
и 0,2 0,4 0,3 0,8 1,0 1,2 1,4
Энергия, вед./л
Рис. 9.3. Зависимость функции распределения Ферми - Дирака f (е) от е/р
для нулевой температуры и для температуры т = '/sP-Величина f (е)
указывает долю орбиталей с данной энергией, которые оказываются заня*
тыми, когда система находится в тепловом равновесии. При нагревании
системы от абсолютного нуля электроны переходят из заштрихованного
участка с е'ц<1 в заштрихованный участок с е/ц> 1. Для металлов р может
соответствовать температура 50 00Э К.
Рассмотрим систему из многих независимых орбиталей (рис. 9.4). При
температуре т = 0 все орбитали с энергиями, меньшими энергии Ферми,
заняты и имеют по одному электрону на каждой орбитали, а все орбитали с
более высокими энергиями не заполнены. Как мы увидим в гл. 14 и
Приложении III, при отличной от нуля температуре значение химического
потенциала р отличается от энергии Ферми.
При любой температуре орбиталь с энергией, равной химическому потенциалу
(е = р), заполнена ровно наполовину (в смысле среднего по ансамблю):
