Статистическая термодинамика - Киттель Ч.
Скачать (прямая ссылка):
3 ГЛ. 9. ФЕРМИОНЫ И БОЗОНЫ. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
дает возможность обсуждать ограничения, налагаемые им на допустимый вид
точной (У-частичной волновой функции. Однако здесь мы воспользуемся
упрощенной формулировкой, которая требует, чтобы заселенность любой
орбитали была равна О или 1.
Принцип Паули лежит в основе оболочечной модели атомов и, тем самым, в
основе закономерностей периодической системы элементов. В качестве
примера применения принципа Паули рассмотрим атом лития, имеющего в
основном состоянии три электрона, размещенных по орбиталям следующим
образом: один электрон на орбитали lsf, один электрон на орбитали lsj и
один электрон на орбитали 2sf или 2s|. Здесь число 1 или 2 - главное
квантовое число орбитали, а буквой s принято обозначать состояние с
нулевым орбитальным моментом количества движения. Стрелки f или ]¦
указывают направление электронного спина на данной орбитали. Полная
энергия атома лития (см. рис. 1.1) была бы меньше, если электрон с
орбитали 2s переместить на любую из орбиталей Is, но это привело бы к
наличию двух электронов на одной орбитали, что запрещено принципом Паули.
Принцип Паули никак не связан с тем, что два электрона отталкиваются друг
от друга вследствие электростатического взаимодействия с силой е2/г.
Правило запрета представляет собой физический принцип, который должен
учитываться, наряду со взаимодействием между частицами, при всяком
корректном описании поведения системы многих частиц. Правило запрета было
бы справедливым, даже если бы заряд электрона равнялся нулю. Так, он
справедлив для нейтронов в ядре.
Известно, что правило запрета выполняется для всякой частицы,
элементарной или сложной, у которой спин или собственный орбитальный
момент количества движения кратен половине й. Нейтроны и нейтрино так же,
как электроны, позитроны и протоны, имеют спин 72й и подчиняются принципу
запрета. Примером сложной частицы, которая подчиняется принципу Паули,
служит атом Не3, имеющий два электрона, два протона и один нейтрон, с
суммарным спином г/2й. Но этот принцип неприменим к частицам со спином,
равным нулю или кратным й. Частицы, подчиняющиеся принципу Паули,
называются фермионами.
Имеется два класса известных в физике частиц - фермионы и бозоны *).
Сведения о них приведены ниже.
*) Связь между "статистикой" и спином частицы (независимо от того,
относится ли она к фермионам или к бозонам) есть следствие требования
релятивистской инвариантности. К сожалению, для доказательства этого
необходимо знание квантовой теории поля. Впервые доказательство было дано
В. Паули [36] (см. также [37]).
ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ - ДИРАКА
119
Тип частицы Спин в единицах Н Примеры Заселенность орбитали
Фракция распределения
Фермион Бозон '/2.72,... 0, 1,2,... Электрон, протон, нейтрон, атом
Не3 Фотон, дейтрон, атом Не4 0, 1 0, 1,2,3 ... Ферми - Дирака ехр [(в
- ц)/т] + 1 Бозе - Эйнштейна 1 П уе> ехр [(в - ц)/т] - 1
Число бозонов, которые могут занимать одну и ту же орбиталь, не
ограничивается - их мы рассмотрим позже. Атом Не1 представляет собой
бозон - он имеет два электрона, два протона и два нейтрона. Суммарный его
спин равен нулю.
Принцип Паули касается заселенности орбитали одинаковыми фермионами:
нейтроны отличны от протонов, и поэтому один нейтрон и один протон могут
занимать в ядре одну и ту же орбиталь, а два нейтрона не могут. Электроны
отличаются от позитронов, хотя и те и другие являются фермионами. Поэтому
один электрон и один позитрон могут находиться на одной и той же
орбитали. Многие опыты с позитронами (положительно заряженными
электронами) в металлах определенно свидетельствуют о том, что позитрон в
металле может находиться на той же орбитали, на которой находится
электрон проводимости*).
Функция распределения Ферми - Дирака
Рассмотрим систему с одной-единственной орбиталью **), которая может быть
занята электроном. Система находится в тепловом и диффузионном контакте с
резервуаром (рис. 9.1 и 9.2). Реальная система может состоять из большого
числа электронов, но очень полезно сконцентрировать внимание на одной
орбитали и назвать ее системой. Все остальные орбитали реальной
*) О позитронах в металле см. [38]. Орбитали электронов проводимости в
металлах обычно называют состояниями Блоха.
**) Подчеркнем еще раз, что орбиталь является состоянием в одночастичной
задаче, а не состоянием всей системы N взаимодействующих частиц,
поскольку орбиталь описывается решением уравнения Шредингера для одной
частицы. Если взаимодействие между частицами существенно, то построение
УУ-частичного состояния путем наложения УУ орбиталей (по одной для каждой
частицы) не будет хорошим приближением. Но для многих задач такое
приближение оказывается превосходным. Более общая формулировка принципа
Паули, которая применима к точной многочастичной волновой функции,
обсуждается в книгах по квантовой механике; мы упомянем о ней в гл. 10.
120
ГЛ. 9. ФЕРМИОНЫ И БОЗОНЫ, ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
