Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
V.Hugo [Hug51]
Термин «квантовая группа» был введен в обращение Дринфельдом в его выступлении на Международном математическом конгрессе в Беркли (1986г.). Он обозначает определенный класс алгебр Хопфа, которые являются нетривиальными деформациями обертывающих алгебр полупростых алгебр Ли или алгебр регулярных функций на соответствующих алгебраических группах. Как вскоре было замечено, квантовые группы тесно связаны с далекими, на первый взгляд, областями математики и физики.
Основная цель этой книги — изложить основы той алгебры, которая стоит за словами «квантовые группы», и указать их замечательную связь с маломерной топологией. Несмотря на сложность материала мы попытались сделать его доступным широкой аудитории. Некоторые стандартные сведения из алгебры и начальные элементы топологии (а также теории линейных дифференциальных уравнений, которые используются в главе 19) мы считаем известными.
Книга состоит из четырех частей, на содержании которых мы коротко остановимся. В части I мы вводим язык алгебр Хопфа, используя для иллюстрации алгебры Хопфа SLq{2) и Ug(sl(2)), ассоциированные с классической группой SL2- Они являются простейшими примерами квантовых групп и практически единственными, которые мы подробно обсуждаем. Часть II посвящена двум классам алгебр Хопфа, которые систематическим образом приводят к решениям уравнения Янга-Бакстера. Мы даем обзор метода Решетихина-Тахтаджяна-Фадеева, а также конструкцию квантового дубля Дринфельда, которые порождают квантовые группы. Части I и II могут составить основу для вводного годичного курса по этому предмету. Предисловие
XXI
Части III и IV посвящены упомянутым выше замечательным связям с маломерной топологией. Часть III имеет своей целью построение изотопических инвариантов зацеплений в R3, включая полином Джонса, исходя из некоторых решений уравнения Янга-Бакстера. Для этого мы вводим различные классы тензорных категорий, отвечающих за связь между квантовыми группами и теорией узлов. Часть IV представляет более продвинутый материал: в ней излагается элегантный дринфель-довский подход к монодромии уравнений Книжника-Замолодчикова. Наша цель состоит в освещении глубоких результатов Дринфельда, выражающих сплетенную тензорную категорию модулей над квантовой обертывающей алгеброй в терминах соответствующей полупростой алгебры Ли. Книга завершается построением «универсального инварианта узлов». Он является красивым далеко продвинутым приложением алгебраической техники, развитой в предыдущих главах.
Я хочу отметить работы Дринфельда [Dri87], [Dri89a], [Dri89b], [Dri90], Джояла и Стрита [JS93], Решетихина и Тураева [Tur89], [RT90], которые вдохновляли меня при написании текста этой книги. После ознакомления с квантовыми группами "читателю рекомендуется вернуться к этим первоисточникам. Дальнейшие ссылки приведены в замечаниях в конце каждой главы. Монографии Люстига и Тураева [Lus93], [Tur94] могут служить обширным дополнением к нашему изложению.
Настоящая книга выросла из двух аспирантских курсов, которые я прочел на Математическом отделении Университета Луи Пастера в Страсбурге в 1990-1992 гг. Часть I представляет собой расширенный английский перевод работы [Kas92]. Я с удовольствием выражаю благодарность К. Беннису, Р. Бергеру, К. Мичи, П. Нуссу, К. Ройтенауэру, М. Россо, В. Тураеву, М. Вамбсту за плодотворные обсуждения и замечания, а также Раймонду Сероулу, подготовившему рисунки. Я выражаю особую благодарность Патрику Иону за потрясающую работу по подготовке книги к печати, уделившему внимание математическим, грамматическим, типографским и компьютерным аспектам.
Страсбург, март 1994 г. Обозначения
На протяжении всей книги к обозначает некоторое поле, слова ное пространство», «линейное отображение» означают соотве' «векторное пространство над к» и «к-линейное отображение» ные буквы Z+, Z, R и С обозначают соответственно неотриц; целые, все целые числа, поля вещественных и комплексных чис вол Кронекера Sij определен по правилу: Sij = 1, если і = j, и противном случае. Симметрическая группа множества из п зі обозначена через Sn, знак перестановки а — через е(сг).
Символом ? отмечены окончания доказательств. Часть I
Квантовая SL(2) Глава 1. Предварительные сведения................................З
Глава 2. Тензорные произведения ..................................29
Глава 3. Язык алгебр Хопфа........................................50
Глава 4. Квантовая плоскость и ее симметрии ....................93
Глава 5. Алгебра Ли алгебры SL(2) ................................119
Глава 6. Квантовая обертывающая алгебра алгебры Ли sl(2) . . 155
Глава 7. Структура алгебры Хопфа на Uq(s 1(2)) ..................179 Глава 1
Предварительные сведения
Цель настоящей главы состоит в построении полиномиальных алгебр GL(2) и SL(2), моделирующих 2 х2-матрицы с обратимым (соответственно равным 1) определителем. Умножение матриц порождает дополнительную структуру на этих алгебрах. Она является одной из базовых составляющих того, что в главе 3 будет названо алгеброй Хопфа. В конце главы мы вводим ряд понятий из теории колец, которые понадобятся в дальнейшем. Основное поле обозначено через к.
