Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
(iv) Для любой пары V1 С V конечномерных А-модулей, где модуль V простой, существует А-линейный эпиморфизм р: V —> V' такой, что р2 = р.
(v) Любой конечномерный А-модуль является полупростым.
Доказательство. Переходы (і) => (іі) и (iii) =>• (iv) очевидны. Легко также получить переход (і) =>¦ (iii): нужно только определить р как каноническую проекцию V' ф V" на Vі. Аналогично, (ii) => (iv).
(iii) =>¦ (і). Пусть V" = Ker(p), V" есть подмодуль в V. Из соотношений V = p(v) + (v — p(v)) и р2 = р следует, что V является прямой суммой V' и V". Аналогично, (iv) =$> (ii).
(ii) =>¦ (v). Мы должны показать, что в предположении (ii) любой конечномерный А-модуль полупрост. Мы можем предположить, что dim(V) > 0. Рассмотрим нетривиальный подмодуль Vi модуля V наименьшей размерности; он должен быть простым. Из (ii) следует, что существует подмодуль V1 такой, что V = Vi ф Vі, и dim(Vі) < dim(V). Продолжая эту процедуру, мы построим последовательность (Vl)„>o 1.1. Алгебры и модули
7
простых подмодулей и последовательность (V")„>o подмодулей таких, что
Vn S Vn+1 Ф Vn+1 и dim(Vn+1) < dim(V").
Так как размерности Vn строго убывают, для некоторого р мы будем иметь Vp = {0}. Следовательно, модуль V раскладывается в прямую сумму простых модулей: V = V\ ® ... ® Vp.
Осталось доказать, что из предположения (v) следует (і). Пусть V' С V — пара конечномерных А-модулей. Из (v) имеем
V = Qvi
ієі
— прямая сумма простых подмодулей Vi по конечному набору индексов I. Пусть J — максимальное подмножество в I такое, что
Vn(0^)={O}. (1.9)
jeJ
ЕСЛИ І ?: J, ТО следовательно,
Vi n (v + Qvj) тЧО}.
jeJ
Так как модуль Vj прост, отсюда вытекает
V С V' + ф Vj
JeJ
для всех і ф. J. Это выполняется также для всех і Є J. Поэтому для суммы V всех Vi мы должны иметь
V = V + 0?. (1.10)
jeJ
Как следствие (1.9), (1.10) мы имеем V = V ф V", где V" — это подмодуль 0je7 Vj. ? 8
Глава 1. Предварительные сведения
1.2. Свободные алгебры
Пусть X — некоторое множество. Рассмотрим векторное пространство k {J4T}, базис в котором образуют все слова вида Xil... Xip в алфавите X, включая пустое слово 0. Такие слова будем называть мономами. Степень монома Xi1 ... Xip полагается равной его длине р. Приписывание слов задает умножение на к{Х}:
(Xi1 ... xip)(xip+1 ... Xin) = Xi1 ... XipXip+1 ... Xin. (2-І)
Формула (2.1) определяет на к{Х} структуру алгебры, называемой свободной алгеброй с порождающим множеством X. Единицей является пустое слово: 1 = 0. Далее мы будем рассматривать преимущественно свободные алгебры с конечными порождающими множествами. Если X = {xj,... ,хп}, то к{Х} мы будем также обозначать через k{aJi, • • ¦ ,хп}.
Свободные алгебры обладают следующим свойством универсальности.
Предложение 1.2.1. Пусть X — некоторое множество. Для данной алгебры А и отображения / из X в А существует, и притом единственный, гомоморфизм /: k{X} —> А такой, что f(x) = f(x) для всех X Є X.
Доказательство. Достаточно определить / для произвольного слова в алфавите X. Для пустого слова мы полагаем /(0) = 1. Далее, если Xi1,... ,Xip — элементы X, мы полагаем
f(xh ...xip) = / (xh)... f (xip).
Завершение доказательства очевидно. ?
Эквивалентная формулировка предложения 2.1: Существует естественная биекция
HomA;g(k{X}, A) S Homset(X1A), (2.2)
где Homset(X1A) — множество всех отображений из X в А. В частности, если X — конечное множество {жі,... ,хп}, то формула / >-> (f(x і),... , f(xn)) задает биекцию
HomAig(k{zb... ,хп}, А) = А". (2.3) 1.3. Аффинная прямая и аффинная плоскость
9
Любая алгебра А представляет собой фактор-алгебру некоторой свободной алгебры к{Х}. Достаточно взять в качестве X любое подмножество, порождающее алгебру А (например, X = A). Тогда А = к{Х}/7, где I — соответствующий двусторонний в идеал к{Х}. В этом случае для любой алгебры А! имеет место естественная биекция
Honujg(A, A') S {/ є Homset(X, А') | /(/) = 0}. (2.4)
Пример 1. Пусть I — двусторонний идеал вк{іі,.., , хп}, порожденный всеми элементами вида XiXj — XjXi, где i,j пробегают все натуральные числа от 1 до п. Фактор-алгебра k{:ri,... ,хп}/1 изоморфна алгебре многочленов к[жі,... , хп] от п переменных с коэффициентами в основном поле к. Как следствие биекции (2.4), получаем, что для произвольной алгебры А имеет место:
EouiAig(к[хі,... , хп], А) =
= {(ai,... , ап) є An I CLiCij = CijCii Для всех (i,j)}. (2.5)
В следующих параграфах мы увидим другие примеры, когда семейства элементов, удовлетворяющих «универсальным» алгебраическим соотношениям, представляются фактор-алгебрами свободной алгебры.
1.3. Аффинная прямая и аффинная плоскость
Ограничимся на время рассмотрением коммутативных алгебр. Следствием (2.5) является следующее утверждение.
Предложение 1.3.1. Пусть А — коммутативная алгебра, и / — отображение из конечного множества {жі,... ,хп} в А. Тогда существует, и притом единственный, гомоморфизм / из\і[х\,... ,хп] в А такой, что f(xi) = f(xi) для всех і.
Другими словами, задание гомоморфизма из алгебры многочленов kfij,... , хп] в коммутативную алгебру А равносильно выделению набора (oj,... , ап) из п элементов алгебры А:
