Квантовые группы - Кассель К.
Скачать (прямая ссылка):
Из соотношений (7.5) вытекает следующее равенство в М. для всех а Є R:
Лемма 1.7.3. T(al) = (a(a)I)T + (5(а)1). 1.7. Расширения Ope
21
Теперь мы завершим доказательство теоремы 7.1 (б). Пусть S — подалгебра М, порожденная элементами T и al, где а пробегает R. Из леммы 7.3 с очевидностью следует, что S является образом R[t] при отображении Ф. Так кале отображение Ф является мономорфизмом, оно индуцирует линейный изоморфизм между jR[i] и S. Это позволяет перенести структуру алгебры S на j?[t]. Тогда соотношения (7.2) выполняются в ввиду леммы 7.3. ?
Приведем несколько следствий. Прежде всего мы хотим дать общую формулу для умножения в R[t, a, J]. Рассмотрим P = Yl= о
и Q = YiLoW1- Положим PQ = Yl=Q1 cI^t- Пусть Sn к — линейный
fn\
оператор на R, определенный кале сумма всех I 1 возможных композиций к штук S и п — к штук а.
Следствие 1.7.4. В условиях теоремы 7.1 (б) выполняется следующее.
(а) Для всех і таких, что 0 ^ і ^ т + п, имеем
і P
- aP SP,k(bi-p+k) (7-8)
р=0 >fc=0
и для всех а Є R, п Є Z+ имеем в R[t, а, <$]
п
tna = ^Sn>k(a)tn-k. (7.9)
Jfc==O
(б) Алгебра R[t, а, 5] не имеет делителей нуля. Как левый R-mo-дулъ она свободна с базисом {i'Jigz+-
(в) Если а — автоморфизм, то R[t, a, J] является также свободным правым R-модулем с тем же базисом {і1}ієZ+-
•Доказательство, (а) Соотношение (7.9) выводится из (7.2) индукцией по п. Оно влечет (7.8).
(б) Это утверждение вытекает из определения алгебры и наличия фильтрации в ней. 22
Глава 1. Предварительные сведения
(в) Сначала докажем, что семейство {t1}^о порождает а, 5] кале правый Д-модуль. Это означает, что любой элемент P из R[t, а, б] может быть также записан в виде P = ^ai, где ао, • • ¦ , ап Є R- Докажем это индукцией по степени п многочлена Р. Для n = 0 это очевидно. Для большего п используем соотношение
atn = tna~n(a) + члены меньшей степени, (7.10)
которое имеет смысл в предположении, что а обратимо. Остается показать, что семейство {tl}i^>о независимо. Предположим, что это не так. Тогда имеет место соотношение вида
tnan + tn-1an_i + ... + tax + a0 = 0
с an ф 0. Используя (7.10) снова, мы получаем другое равенство вида
an(an)tn + члены меньшей степени = 0,
которое, как следует из (б), влечет ап(ап) = 0. Так как а — изоморфизм, мы получаем ап = 0, то есть противоречие. ?
Пример 1. Рассмотрим специальный случай а = ісід. Если S = 0, то расширение Ope jR[i,id#,0] очевидным образом изоморфно алгебре многочленов i?[t], В случае произвольного дифференцирования S алгебра id я, ?] является алгеброй дифференциальных операторов (см. упражнение 10). Если R = к[ж] и S = d/dx — обычное дифференцирование многочленов, то R[t, id?, 5] является алгеброй Вейля, которая порождается двумя образующими х и S и известным соотношением Гейзенберга Sx — хб = 1.
1.8. Нётеровы кольца
Предложение 1.8.1. Пусть А — некоторое кольцо. Следующие два утверждения равносильны.
(i) Любой левый идеал I кольца А конечно порожден, то есть существуют oi,... ,ап в I такие, что I = Аа\ + ... + Aan.
(ii) Любая возрастающая последовательность 1\ Cl2Cl3C ... С С А левых идеалов А стабилизируется, то есть существует г такое, что Ir+i = Ir для всех і ^ 0. 1.8. Нётеровы кольца
23
Доказательство. Сначала покажем, что (і) влечет (ii). Рассмотрим возрастающую последовательность Jr1 С I2 С /3 С ... левых идеалов А. Их объединение I является левым идеалом, который согласно условию (і) порожден конечным числом элементов ai,... ,ап кольца А. По определению объединения существует целое г такое, что все элементы Oi,... ,ап принадлежат идеалу Ir. Отсюда следует, что
1 С Ir С 1г+г С I для всех і > 0.
Теперь докажем обратное утверждение. Пусть / — левый идеал, не ЯВЛЯЮЩИЙСЯ конечно порожденным, и Ol — элемент I. Левый идеал Ii = Aai содержится в I, и І\ ф I. Следовательно, можно найти элемент
02 € I\ Aai- Будем иметь h <Z I2 = Aai + Aa2 С I, и Д ф I2 ф I. Продолжая таким образом, мы найдем бесконечную строго возрастающую последовательность Ii С ... С In С In+i С ... С I левых идеалов. ?
Кольцо А, удовлетворяющее равносильным условиям из предложения 8.1, называется левым нётеровым кольцом. Кольцо А называется правым нётеровым, если противоположное кольцо Aop является левым нётеровым. Кольцо нётерово, если оно является одновременно и левым, и правым нётеровым.
Пример 1. Любое поле (тело) К нётерово, поскольку все его идеалы — это {0} и К.
Свойство нётеровости сохраняется при факторизации и операции расширения Оре, как мы сейчас увидим.
Предложение 1.8.2. Пусть tp: А -» В — эпиморфизм колец. Тогда если кольцо А левое нётерово, то В также левое нётерово.
Доказательство. Пусть J — левый идеал В. Левый идеал I = у-1 (J) кольца А порожден элементами Oi,... ,ап. Следовательно, идеал J = y>(v?-1(J)) порожден ip(ai),... , <р(ап). ?
Следующая теорема является некоммутативной версией теоремы Гильберта о базисе.
Теорема 1.8.3. Пусть R — некоторая алгебра, а — ее автоморфизм, и S — а-дифференцирование R. Если R — левое нётерово кольцо, то расширение Ope а, 5] также является левым нётеровым. 24
